Страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

■ Как называется график зависимости, заданной равенством $y = x^2$? Используя рисунок 5.33, опишите свойства этой линии.

График зависимости, заданной равенством $y = x^2$, называется параболой.

Ответ: парабола.

Свойства этой линии (параболы $y=x^2$), которые можно определить по ее графику (условный рисунок 5.33):

• Область определения: все действительные числа, так как для любого значения $x$ можно вычислить его квадрат. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные числа. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), то и $y \ge 0$. Записывается как $E(y) = [0; +\infty)$.
• Вершина параболы: точка с координатами $(0; 0)$. Это точка минимума функции, так как наименьшее значение $y$ равно 0 и достигается при $x=0$.
• Симметрия: график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это свойство следует из того, что функция является чётной, то есть $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Ось $Oy$ является осью симметрии параболы.
• Нули функции: значение функции равно нулю ($y=0$) только при $x=0$. График пересекает оси координат только в одной точке — начале координат $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех значениях $x$, кроме $x=0$. Весь график, за исключением вершины, лежит в верхней полуплоскости (в I и II координатных четвертях).
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ (при движении по графику слева направо до вершины, он идет вниз) и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ (после прохождения вершины график идет вверх).
• Направление ветвей: ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Основные свойства параболы $y=x^2$: вершина находится в точке $(0,0)$, ветви направлены вверх, график симметричен относительно оси $Oy$, область определения — $(-\infty; +\infty)$, область значений — $[0; +\infty)$, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Точки A и B принадлежат параболе, заданной равенством $y = x^2$. Абсцисса точки A равна 5, абсцисса точки B равна -7. Назовите ординаты этих точек.

Для нахождения ординаты (координаты $y$) точки, принадлежащей параболе, необходимо подставить её абсциссу (координату $x$) в уравнение параболы $y = x^2$.

Ордината точки A. Абсцисса точки A равна 5. Подставляем это значение в уравнение функции:
$y_A = 5^2 = 25$
Таким образом, ордината точки A равна 25.
Ответ: 25.

Ордината точки B. Абсцисса точки B равна -7. Подставляем это значение в уравнение функции:
$y_B = (-7)^2 = 49$
Таким образом, ордината точки B равна 49.
Ответ: 49.

Используя рисунок 5.34, опишите свойства кубической параболы.

Поскольку рисунок 5.34, на который ссылается задание, отсутствует, в решении будут описаны свойства стандартной кубической параболы, которая является графиком функции $y = x^3$.

Область определения

Функция определена для всех действительных значений аргумента $x$. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел. Математическая запись: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений

Функция может принимать любые действительные значения, от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, область значений функции — это множество всех действительных чисел. Математическая запись: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Нули функции

Значение функции равно нулю при $x=0$. То есть, $y=0$ тогда и только тогда, когда $x^3=0$, что означает $x=0$. График функции пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$.

Промежутки знакопостоянства

Функция принимает положительные значения, когда $x > 0$, и отрицательные значения, когда $x < 0$.

$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

Четность и симметрия

Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. График кубической параболы симметричен относительно начала координат $(0; 0)$.

Монотонность

Функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $x_1^3 < x_2^3$. Промежутков убывания у функции нет.

Экстремумы

У функции $y=x^3$ нет точек локального максимума или минимума. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба графика.

Непрерывность

Функция является непрерывной на всей области определения, так как является многочленом. Ее график представляет собой сплошную линию без разрывов.

Ответ: Основные свойства кубической параболы $y=x^3$: область определения и область значений — все действительные числа; функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат; функция строго возрастает на всей числовой прямой; пересекает оси в точке $(0;0)$; не имеет экстремумов (максимумов и минимумов).

Зависимость задана равенством $y = |x|$. Как иначе можно задать эту зависимость? Опираясь на рисунок 5.35, опишите её график.

Рис. 5.35

Как иначе можно задать эту зависимость?

Зависимость $y = |x|$ является функцией модуля. По определению, модуль (абсолютная величина) числа $x$ равен самому числу $x$, если оно неотрицательно, и равен противоположному числу $-x$, если оно отрицательно. Таким образом, эту зависимость можно задать в виде кусочно-линейной функции, определенной на двух промежутках.

Математически это записывается так:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: Зависимость можно задать кусочной функцией: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

Опираясь на рисунок 5.35, опишите её график.

График функции $y = |x|$, изображенный на рисунке, представляет собой объединение двух лучей, которые выходят из одной точки — начала координат $(0, 0)$.

• При $x \ge 0$ график совпадает с графиком прямой $y = x$. Этот луч проходит через первый координатный угол и является его биссектрисой.
• При $x < 0$ график совпадает с графиком прямой $y = -x$. Этот луч проходит через второй координатный угол и является его биссектрисой.

Основные свойства графика:

• Область определения: все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$).
• Область значений: все неотрицательные числа ($E(y) = [0; +\infty)$).
• Симметрия: график симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как функция является четной ($|-x| = |x|$).
• Вершина: точка $(0, 0)$ является вершиной графика, а также точкой минимума функции. Наименьшее значение функции равно 0.
• Расположение: весь график расположен в верхней полуплоскости (над осью $Ox$), так как $y \ge 0$ для всех $x$.

Ответ: График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. Один луч является биссектрисой первого координатного угла (соответствует уравнению $y=x$ для $x \ge 0$), а второй — биссектрисой второго координатного угла (соответствует уравнению $y=-x$ для $x < 0$). График симметричен относительно оси $y$ и расположен в верхней полуплоскости.