Страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

a) Что является графиком зависимости, заданной условием $y = x$? Сделайте рисунок.

б) Назовите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику.

в) Есть ли на графике точка, абсцисса которой равна 245? Если есть, то какова её ордината?

а) Графиком зависимости, заданной условием $y = x$, является прямая линия. Эта функция является частным случаем линейной функции $y = kx + b$, где коэффициент $k=1$, а свободный член $b=0$. Такая зависимость называется прямой пропорциональностью. Поскольку $b=0$, график проходит через начало координат (точку $(0;0)$). Коэффициент $k=1$ означает, что прямая составляет угол 45° с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$) и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком зависимости $y=x$ является прямая линия, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

б) Чтобы найти координаты точек, принадлежащих графику функции $y = x$, нужно выбрать любое значение для абсциссы ($x$) и подставить его в уравнение. Ордината ($y$) будет равна этому значению. Таким образом, у любой точки на этом графике абсцисса равна ординате.
Примеры таких точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2$. Координаты точки: $(2; 2)$.
• Если $x = -1$, то $y = -1$. Координаты точки: $(-1; -1)$.
• Если $x = -4.5$, то $y = -4.5$. Координаты точки: $(-4.5; -4.5)$.

Ответ: Например, точки с координатами $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(5; 5)$, $(-3; -3)$.

в) Абсцисса точки — это её координата по оси $x$. Нам нужно определить, есть ли на графике функции $y = x$ точка, у которой $x = 245$.
Да, такая точка есть. Чтобы найти её ординату (координату по оси $y$), подставим значение абсциссы в уравнение функции:
$y = x$
$y = 245$
Следовательно, на графике существует точка с абсциссой 245, и её ордината также равна 245. Координаты этой точки — $(245; 245)$.
Ответ: Да, на графике есть такая точка. Её ордината равна 245.

а) Что является графиком зависимости, заданной условием $y = -x$? Сделайте рисунок.

б) Есть ли на этом графике точка, абсцисса которой равна -125? Если есть, то какова её ордината?

в) Какие из следующих точек принадлежат этому графику: (7; -7), (-15; 15), (100; 100), (-20; 20), (0; 0), (10; -20)?

а)

Зависимость, заданная условием $y = -x$, является линейной функцией. Графиком линейной функции всегда является прямая линия.

Это частный случай прямой пропорциональности вида $y = kx$, где коэффициент пропорциональности $k = -1$. Так как свободный член $b$ в общем уравнении прямой $y = kx + b$ равен нулю, график обязательно проходит через начало координат — точку $(0; 0)$.

Поскольку угловой коэффициент $k = -1$ (отрицателен), прямая наклонена "влево" (убывает) и проходит через II и IV координатные четверти. Более того, она является биссектрисой этих четвертей, так как для любой точки на этой прямой ордината равна абсциссе, взятой с противоположным знаком.

Для построения графика, помимо точки $(0; 0)$, найдем координаты еще одной точки. Например, возьмем $x = 3$, тогда $y = -3$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0; 0)$ и $(3; -3)$.

Рисунок графика функции $y = -x$:

Ответ: Графиком является прямая линия (биссектриса II и IV координатных четвертей), проходящая через начало координат.

б)

Чтобы определить, существует ли на графике функции $y = -x$ точка с абсциссой (координатой $x$), равной $-125$, необходимо подставить это значение в уравнение функции. Если мы получим конечное значение для ординаты (координаты $y$), то такая точка существует.

Подставляем $x = -125$ в уравнение $y = -x$:
$y = -(-125)$
$y = 125$

Мы получили конкретное значение для ординаты. Следовательно, на графике существует точка с абсциссой $-125$, и её ордината равна $125$. Координаты этой точки $(-125; 125)$.

Ответ: Да, есть. Её ордината равна 125.

в)

Чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = -x$, нужно подставить её координаты в уравнение. Если равенство $y_0 = -x_0$ окажется верным, то точка принадлежит графику. Проверим каждую из предложенных точек.

1. Точка $(7; -7)$:
Подставляем $x=7$ и $y=-7$ в $y = -x$. Получаем: $-7 = -(7)$. Это верное равенство ($-7 = -7$), значит, точка принадлежит графику.

2. Точка $(-15; 15)$:
Подставляем $x=-15$ и $y=15$. Получаем: $15 = -(-15)$. Это верное равенство ($15 = 15$), значит, точка принадлежит графику.

3. Точка $(100; 100)$:
Подставляем $x=100$ и $y=100$. Получаем: $100 = -(100)$. Это неверное равенство ($100 \ne -100$), значит, точка не принадлежит графику.

4. Точка $(-20; 20)$:
Подставляем $x=-20$ и $y=20$. Получаем: $20 = -(-20)$. Это верное равенство ($20 = 20$), значит, точка принадлежит графику.

5. Точка $(0; 0)$:
Подставляем $x=0$ и $y=0$. Получаем: $0 = -(0)$. Это верное равенство ($0 = 0$), значит, точка принадлежит графику.

6. Точка $(10; -20)$:
Подставляем $x=10$ и $y=-20$. Получаем: $-20 = -(10)$. Это неверное равенство ($-20 \ne -10$), значит, точка не принадлежит графику.

Ответ: Этому графику принадлежат точки $(7; -7)$, $(-15; 15)$, $(-20; 20)$ и $(0; 0)$.

5.41 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ 1) Постройте график зависимости

$y = x + 2$. Для этого:

Вычислите значения $y$ для указанных значений $x$ и заполните таблицу.

Постройте точки, координаты которых занесены в таблицу. Если вы всё сделали аккуратно, то все точки будут лежать на одной прямой.

Проведите эту прямую с помощью линейки.

2) Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат. Найдите координаты этих точек.

Вычислите значения y для указанных значений x и заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения $x$ вычислить соответствующее значение $y$ по формуле $y = x + 2$.

• При $x = -4$, $y = -4 + 2 = -2$
• При $x = -3$, $y = -3 + 2 = -1$
• При $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$
• При $x = -1$, $y = -1 + 2 = 1$
• При $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$
• При $x = 1$, $y = 1 + 2 = 3$
• При $x = 2$, $y = 2 + 2 = 4$
• При $x = 3$, $y = 3 + 2 = 5$
• При $x = 4$, $y = 4 + 2 = 6$

Заполненная таблица:

Ответ: Значения $y$ для соответствующих $x$ равны: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Постройте точки, координаты которых занесены в таблицу. Если вы всё сделали аккуратно, то все точки будут лежать на одной прямой.

Для построения графика на координатной плоскости $xOy$ отмечаем точки, координаты которых мы получили в таблице: $(-4, -2)$, $(-3, -1)$, $(-2, 0)$, $(-1, 1)$, $(0, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(4, 6)$. При аккуратном построении все эти точки располагаются на одной воображаемой линии.

Ответ: Точки с координатами $(-4, -2)$, $(-3, -1)$, $(-2, 0)$, $(-1, 1)$, $(0, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(4, 6)$ отмечены на координатной плоскости и лежат на одной прямой.

Проведите эту прямую с помощью линейки.

Соединяем все отмеченные точки одной сплошной линией с помощью линейки. Полученная прямая является графиком линейной функции $y = x + 2$.

Ответ: Через построенные точки проведена прямая, которая является графиком функции $y = x + 2$.

2) Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат. Найдите координаты этих точек.

Для нахождения координат точек пересечения графика с осями координат выполним следующие действия:

Найдём точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$):

Пересечение с осью $Oy$ происходит в точке, где $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:

$y = 0 + 2 = 2$

Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, 2)$.

Найдём точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$):

Пересечение с осью $Ox$ происходит в точке, где $y = 0$. Подставим это значение в уравнение функции и решим относительно $x$:

$0 = x + 2$

$x = -2$

Следовательно, точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-2, 0)$.

Обе эти точки можно также увидеть в заполненной нами таблице.

Ответ: Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0, 2)$. Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$.