Страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

а) Какое из равенств $x=5$ или $y=5$ задаёт в координатной плоскости горизонтальную прямую и какое – вертикальную? Сделайте рисунок.

б) Какими условиями задаются ось $x$ и ось $y$?

а) В декартовой системе координат уравнение вида $x = c$, где $c$ — константа, задаёт множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна $c$. Эти точки образуют прямую, параллельную оси ординат (оси $y$), то есть вертикальную прямую. Следовательно, равенство $x = 5$ задаёт вертикальную прямую, которая проходит через точку $(5, 0)$.
Уравнение вида $y = c$, где $c$ — константа, задаёт множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) равна $c$. Эти точки образуют прямую, параллельную оси абсцисс (оси $x$), то есть горизонтальную прямую. Следовательно, равенство $y = 5$ задаёт горизонтальную прямую, которая проходит через точку $(0, 5)$.

Рисунок:
Ответ: равенство $y=5$ задаёт горизонтальную прямую, а равенство $x=5$ — вертикальную.

б) Ось $x$ (ось абсцисс) — это горизонтальная прямая, на которой лежат все точки с ординатой, равной нулю. Таким образом, условие, задающее ось $x$, — это равенство $y = 0$.
Ось $y$ (ось ординат) — это вертикальная прямая, на которой лежат все точки с абсциссой, равной нулю. Таким образом, условие, задающее ось $y$, — это равенство $x = 0$.
Ответ: ось $x$ задаётся условием $y = 0$, а ось $y$ — условием $x = 0$.

На рисунке 5.21, в изображена полуплоскость, заданная неравенством $y \ge -1$. Какие из следующих точек принадлежат этой полуплоскости: $(-3; 1)$, $(2; 0)$, $(2; -3)$, $(0; -2)$, $(3; -1)$, $(100; -2)$, $(-1; 100)$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $(x; y)$ полуплоскости, заданной неравенством $y \ge -1$, необходимо проверить, удовлетворяет ли y-координата этой точки данному неравенству. Неравенство $y \ge -1$ означает, что y-координата точки должна быть больше или равна $-1$. Координата $x$ при этом может быть любой.

(-3; 1): Проверим точку с координатами $x = -3$, $y = 1$. Нас интересует только координата $y$. Подставим значение $y=1$ в неравенство: $1 \ge -1$. Это неравенство является верным. Следовательно, точка принадлежит заданной полуплоскости.
Ответ: принадлежит.

(2; 0): Проверим точку с координатами $x = 2$, $y = 0$. Координата $y$ равна $0$. Подставим это значение в неравенство: $0 \ge -1$. Это неравенство является верным. Следовательно, точка принадлежит заданной полуплоскости.
Ответ: принадлежит.

(2; -3): Проверим точку с координатами $x = 2$, $y = -3$. Координата $y$ равна $-3$. Подставим это значение в неравенство: $-3 \ge -1$. Это неравенство является неверным, так как $-3$ находится левее (меньше) $-1$ на числовой оси. Следовательно, точка не принадлежит заданной полуплоскости.
Ответ: не принадлежит.

(0; -2): Проверим точку с координатами $x = 0$, $y = -2$. Координата $y$ равна $-2$. Подставим это значение в неравенство: $-2 \ge -1$. Это неравенство является неверным. Следовательно, точка не принадлежит заданной полуплоскости.
Ответ: не принадлежит.

(3; -1): Проверим точку с координатами $x = 3$, $y = -1$. Координата $y$ равна $-1$. Подставим это значение в неравенство: $-1 \ge -1$. Это неравенство является верным, так как знак "$\ge$" (больше или равно) допускает равенство. Точка лежит на границе полуплоскости (на прямой $y=-1$) и, следовательно, принадлежит ей.
Ответ: принадлежит.

(100; -2): Проверим точку с координатами $x = 100$, $y = -2$. Координата $y$ равна $-2$. Подставим это значение в неравенство: $-2 \ge -1$. Это неравенство является неверным. Следовательно, точка не принадлежит заданной полуплоскости.
Ответ: не принадлежит.

(-1; 100): Проверим точку с координатами $x = -1$, $y = 100$. Координата $y$ равна $100$. Подставим это значение в неравенство: $100 \ge -1$. Это неравенство является верным. Следовательно, точка принадлежит заданной полуплоскости.
Ответ: принадлежит.

Таким образом, полуплоскости $y \ge -1$ принадлежат точки: $(-3; 1)$, $(2; 0)$, $(3; -1)$, $(-1; 100)$.

На рисунке 5.24 изображён прямоугольник, заданный условиями: $1 \leqslant x \leqslant 3$ и $2 \leqslant y \leqslant 5$. Назовите координаты каких-нибудь пяти точек, которые принадлежат этому прямоугольнику, и пяти точек, которые ему не принадлежат.

Прямоугольник на координатной плоскости задан системой неравенств: $1 \le x \le 3$ и $2 \le y \le 5$. Это означает, что любая точка с координатами $(x; y)$, которая принадлежит этому прямоугольнику (включая его границы), должна одновременно удовлетворять обоим этим условиям. Если хотя бы одно из условий не выполняется, точка находится вне прямоугольника.

Координаты пяти точек, которые принадлежат этому прямоугольнику

Чтобы точка принадлежала прямоугольнику, её координаты $(x; y)$ должны удовлетворять условиям $1 \le x \le 3$ и $2 \le y \le 5$. Можно выбрать точки, лежащие как внутри фигуры, так и на её границах.
Вот пять примеров таких точек:
1. Точка $(2; 4)$: её координаты удовлетворяют обоим неравенствам, так как $1 \le 2 \le 3$ и $2 \le 4 \le 5$.
2. Точка $(1; 2)$: это левая нижняя вершина прямоугольника. Координаты $x=1$ и $y=2$ являются граничными значениями и удовлетворяют условиям.
3. Точка $(3; 5)$: это правая верхняя вершина прямоугольника. Координаты $x=3$ и $y=5$ также удовлетворяют условиям.
4. Точка $(1.5; 3.5)$: точка внутри прямоугольника, так как $1 < 1.5 < 3$ и $2 < 3.5 < 5$.
5. Точка $(3; 3)$: точка на правой границе прямоугольника, так как $x=3$ и $2 \le 3 \le 5$.
Ответ: $(2; 4)$, $(1; 2)$, $(3; 5)$, $(1.5; 3.5)$, $(3; 3)$.

Координаты пяти точек, которые ему не принадлежат

Чтобы точка не принадлежала прямоугольнику, её координаты $(x; y)$ должны нарушать хотя бы одно из условий. То есть, либо координата $x$ должна быть вне отрезка $[1; 3]$, либо координата $y$ должна быть вне отрезка $[2; 5]$.
Вот пять примеров таких точек:
1. Точка $(0; 4)$: не принадлежит, так как абсцисса $x=0$ не удовлетворяет условию $1 \le x \le 3$ (поскольку $0 < 1$).
2. Точка $(4; 3)$: не принадлежит, так как абсцисса $x=4$ не удовлетворяет условию $1 \le x \le 3$ (поскольку $4 > 3$).
3. Точка $(2; 1)$: не принадлежит, так как ордината $y=1$ не удовлетворяет условию $2 \le y \le 5$ (поскольку $1 < 2$).
4. Точка $(2; 6)$: не принадлежит, так как ордината $y=6$ не удовлетворяет условию $2 \le y \le 5$ (поскольку $6 > 5$).
5. Точка $(5; 10)$: не принадлежит, так как оба условия нарушены ($5 > 3$ и $10 > 5$).
Ответ: $(0; 4)$, $(4; 3)$, $(2; 1)$, $(2; 6)$, $(5; 10)$.

5.27 Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаётся равенством:

а) $x = 3$;

б) $x = -1,25$;

в) $y = -2$;

г) $y = 25$;

д) $x = 0$;

е) $y = 0$.

а) Равенство $x = 3$ определяет множество всех точек координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) всегда равна 3, в то время как ордината (координата $y$) может принимать любое значение. Геометрически это множество точек представляет собой вертикальную прямую, параллельную оси ординат (оси Oy) и проходящую через точку $(3, 0)$ на оси абсцисс.
Ответ: Прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку $(3, 0)$.

б) Равенство $x = -1,25$ задает множество всех точек, абсцисса которых равна $-1,25$ при любой ординате. На координатной плоскости это прямая, параллельная оси Oy и пересекающая ось Ox в точке $(-1,25; 0)$.
Ответ: Прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку $(-1,25; 0)$.

в) Равенство $y = -2$ определяет множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) всегда равна $-2$, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Это множество точек образует горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (оси Ox) и проходящую через точку $(0, -2)$ на оси ординат.
Ответ: Прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -2)$.

г) Равенство $y = 25$ задает множество всех точек, ордината которых равна $25$ при любой абсциссе. Геометрически это прямая, параллельная оси Ox и пересекающая ось Oy в точке $(0, 25)$.
Ответ: Прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 25)$.

д) Равенство $x = 0$ задает множество всех точек, у которых абсцисса равна нулю. Все такие точки лежат на оси ординат. Таким образом, это уравнение задает саму ось ординат (ось Oy).
Ответ: Ось ординат (ось Oy).

е) Равенство $y = 0$ задает множество всех точек, у которых ордината равна нулю. Все такие точки лежат на оси абсцисс. Таким образом, это уравнение задает саму ось абсцисс (ось Ox).
Ответ: Ось абсцисс (ось Ox).

5.28 Опишите на алгебраическом языке прямые, изображённые на рисунке 5.25, а—г.

а) $y = -3$

б) $x = -1.5$

в) $x = 0$

г) $y = 0$

Рис. 5.25

На графике изображена горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$. Каждая точка на этой прямой имеет одну и ту же ординату (координату $y$). Из графика видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -3)$. Таким образом, для всех точек на этой прямой координата $y$ равна -3. Уравнение этой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа. В данном случае $c = -3$.
Ответ: $y = -3$

На графике изображена вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$. Каждая точка на этой прямой имеет одну и ту же абсциссу (координату $x$). Из графика видно, что прямая пересекает ось $Ox$ в точке $(-1,5; 0)$. Таким образом, для всех точек на этой прямой координата $x$ равна -1,5. Уравнение этой прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — константа. В данном случае $c = -1,5$.
Ответ: $x = -1,5$

На графике изображена прямая, которая совпадает с осью ординат ($Oy$). Ось ординат — это геометрическое место точек, абсцисса которых равна нулю. То есть для любой точки на оси $Oy$ ее координата $x$ всегда равна 0.
Ответ: $x = 0$

На графике изображена прямая, которая совпадает с осью абсцисс ($Ox$). Ось абсцисс — это геометрическое место точек, ордината которых равна нулю. То есть для любой точки на оси $Ox$ ее координата $y$ всегда равна 0.
Ответ: $y = 0$

5.29 Опишите на алгебраическом языке:

а) прямую, проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс;

б) прямую, проходящую через точку $ (-5; 2) $ и параллельную оси ординат.

а) Чтобы описать на алгебраическом языке прямую, проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определим, что такое ось ординат и ось абсцисс. Ось ординат – это вертикальная ось $y$, а ось абсцисс – это горизонтальная ось $x$ в декартовой системе координат.

2. Условие "прямая проходит через точку 5 оси ординат" означает, что прямая пересекает ось $y$ в точке, где $y=5$. Координаты этой точки – $(0; 5)$.

3. Условие "прямая параллельна оси абсцисс" означает, что это горизонтальная линия. Для любой горизонтальной линии все её точки имеют одну и ту же координату $y$.

4. Совмещая оба условия, мы понимаем, что если прямая проходит через точку $(0; 5)$ и является горизонтальной, то все её точки должны иметь координату $y$, равную 5. Таким образом, уравнение этой прямой записывается как $y=5$.

Ответ: $y = 5$

б) Чтобы описать на алгебраическом языке прямую, проходящую через точку $(-5; 2)$ и параллельную оси ординат, выполним следующие шаги:

1. Условие "прямая параллельна оси ординат (оси $y$)" означает, что это вертикальная линия. Для любой вертикальной линии все её точки имеют одну и ту же координату $x$.

2. Условие "прямая проходит через точку $(-5; 2)$" означает, что эта точка принадлежит нашей прямой.

3. Так как прямая вертикальна и проходит через точку с абсциссой (координатой $x$), равной -5, то все точки на этой прямой также должны иметь абсциссу -5. Таким образом, уравнение этой прямой записывается как $x=-5$.

Ответ: $x = -5$

5.30 РАССУЖДАЕМ

а) Известно, что точки $A(2; -1)$ и $B(5; a)$ расположены на одной и той же прямой, перпендикулярной оси ординат. Найдите число $a$.

б) Известно, что точки $M(-4; 2)$ и $N(c; -3)$ расположены на одной и той же прямой, параллельной оси ординат. Найдите число $c$.

а) По условию задачи, точки $A(2; -1)$ и $B(5; a)$ расположены на одной и той же прямой, которая перпендикулярна оси ординат.
Ось ординат (ось $Oy$) — это вертикальная ось в декартовой системе координат. Прямая, перпендикулярная вертикальной оси, является горизонтальной прямой.
Особенность любой горизонтальной прямой заключается в том, что все её точки имеют одинаковую ординату (координату $y$). Уравнение такой прямой имеет вид $y = k$, где $k$ — некоторая константа.
Точка $A$ имеет координаты $(2; -1)$. Её ордината равна $-1$. Поскольку точка $A$ лежит на нашей прямой, ординаты всех точек этой прямой должны быть равны $-1$.
Точка $B$ имеет координаты $(5; a)$. Поскольку она также лежит на этой прямой, её ордината $a$ должна быть равна $-1$.
Таким образом, $a = -1$.
Ответ: $a = -1$.

б) По условию задачи, точки $M(-4; 2)$ и $N(c; -3)$ расположены на одной и той же прямой, которая параллельна оси ординат.
Ось ординат (ось $Oy$) — это вертикальная ось. Прямая, параллельная оси ординат, также является вертикальной прямой.
Особенность любой вертикальной прямой заключается в том, что все её точки имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Уравнение такой прямой имеет вид $x = k$, где $k$ — некоторая константа.
Точка $M$ имеет координаты $(-4; 2)$. Её абсцисса равна $-4$. Поскольку точка $M$ лежит на нашей прямой, абсциссы всех точек этой прямой должны быть равны $-4$.
Точка $N$ имеет координаты $(c; -3)$. Поскольку она также лежит на этой прямой, её абсцисса $c$ должна быть равна $-4$.
Таким образом, $c = -4$.
Ответ: $c = -4$.

5.31 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $x > 5$;

б) $x \leq \frac{2}{5}$;

в) $x \geq 0$;

г) $y \geq 0$;

д) $y < -2$;

е) $y > -3,5$.

Для изображения множества точек, удовлетворяющих неравенству на координатной плоскости, необходимо сначала построить граничную прямую, а затем определить, какая из полуплоскостей является решением.

Рассмотрим неравенство $x > 5$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых абсцисса $x$ строго больше 5, а ордината $y$ может быть любой. Граничной линией для этого множества является прямая $x = 5$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(5; 0)$ и параллельная оси ординат (оси $Oy$). Поскольку неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на самой прямой $x=5$, не входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией. Неравенству $x > 5$ удовлетворяют все точки, которые лежат правее прямой $x=5$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x=5$. Граничная прямая $x=5$ изображается пунктиром и не входит в множество решений.

Рассмотрим неравенство $x \le \frac{2}{5}$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых абсцисса $x$ меньше или равна $\frac{2}{5}$ (или $0,4$), а ордината $y$ может быть любой. Граничной линией является прямая $x = \frac{2}{5}$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(\frac{2}{5}; 0)$ и параллельная оси $Oy$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки, лежащие на самой прямой $x=\frac{2}{5}$, входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать сплошной линией. Неравенству $x \le \frac{2}{5}$ удовлетворяют все точки, которые лежат на прямой $x=\frac{2}{5}$ и левее нее.

Ответ: Замкнутая полуплоскость, расположенная слева от вертикальной прямой $x=\frac{2}{5}$, включая саму прямую.

Рассмотрим неравенство $x \ge 0$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых абсцисса $x$ неотрицательна ($x$ больше или равна 0), а ордината $y$ может быть любой. Граничной линией является прямая $x = 0$. Эта прямая совпадает с осью ординат (осью $Oy$). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки, лежащие на оси $Oy$, входят в искомое множество. Неравенству $x \ge 0$ удовлетворяют все точки, которые лежат на оси $Oy$ и правее нее. Это точки первого и четвертого координатных квадрантов, а также сама ось $Oy$.

Ответ: Правая полуплоскость, включая ее границу — ось ординат $Oy$.

Рассмотрим неравенство $y \ge 0$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых ордината $y$ неотрицательна ($y$ больше или равна 0), а абсцисса $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = 0$. Эта прямая совпадает с осью абсцисс (осью $Ox$). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки, лежащие на оси $Ox$, входят в искомое множество. Неравенству $y \ge 0$ удовлетворяют все точки, которые лежат на оси $Ox$ и выше нее. Это точки первого и второго координатных квадрантов, а также сама ось $Ox$.

Ответ: Верхняя полуплоскость, включая ее границу — ось абсцисс $Ox$.

Рассмотрим неравенство $y < -2$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых ордината $y$ строго меньше -2, а абсцисса $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = -2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; -2)$ и параллельная оси абсцисс (оси $Ox$). Поскольку неравенство строгое (<), точки, лежащие на прямой $y=-2$, не входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией. Неравенству $y < -2$ удовлетворяют все точки, которые лежат ниже прямой $y=-2$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой $y=-2$. Граничная прямая $y=-2$ изображается пунктиром и не входит в множество решений.

Рассмотрим неравенство $y > -3,5$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых ордината $y$ строго больше -3,5, а абсцисса $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = -3,5$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; -3,5)$ и параллельная оси $Ox$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на прямой $y=-3,5$, не входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией. Неравенству $y > -3,5$ удовлетворяют все точки, которые лежат выше прямой $y=-3,5$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная выше горизонтальной прямой $y=-3,5$. Граничная прямая $y=-3,5$ изображается пунктиром и не входит в множество решений.