Страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3 Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют двойному неравенству:

а) $4 \le x \le 10$;

б) $-15 \le x \le 27$;

в) $8 < x < 11$.

а) Двойное неравенство $4 \le x \le 10$ читается как "x больше или равен 4 и меньше или равен 10". Это нестрогое неравенство, так как используются знаки "меньше или равно" ($\le$). Это означает, что граничные точки 4 и 10 включаются в множество решений. На координатной прямой такие точки обозначаются закрашенными (сплошными) кружками. Множество всех точек, удовлетворяющих этому неравенству, представляет собой числовой отрезок.

Это множество можно записать в виде числового промежутка с использованием квадратных скобок, которые показывают, что концы промежутка включены.

Ответ: $x \in [4, 10]$.

б) Двойное неравенство $-15 \le x \le 27$ означает, что $x$ находится в промежутке от -15 до 27 включительно. Так как неравенство нестрогое ($\le$), обе граничные точки, -15 и 27, принадлежат множеству решений. На координатной прямой мы изображаем это отрезком, концы которого отмечены закрашенными точками.

В виде числового промежутка это записывается с помощью квадратных скобок.

Ответ: $x \in [-15, 27]$.

в) Двойное неравенство $8 < x < 11$ читается как "x строго больше 8 и строго меньше 11". Это строгое неравенство, так как используются знаки "меньше" (<) . Это означает, что граничные точки 8 и 11 не включаются в множество решений. На координатной прямой такие точки принято обозначать пустыми (выколотыми) кружками. Множество всех точек, удовлетворяющих этому неравенству, представляет собой числовой интервал.

Это множество записывается в виде числового промежутка с использованием круглых скобок, которые показывают, что концы промежутка не включены.

Ответ: $x \in (8, 11)$.

5.4 Изобразите на координатной прямой промежуток:

а) $x < -4$;

б) $x \ge -12$;

в) $x \le -10$;

г) $x > 100$;

д) $-30 < x < 30$;

е) $-37 \le x \le 54$.

а) Неравенство $x < -4$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые строго меньше -4. На координатной прямой этот промежуток изображается в виде луча, который начинается от точки -4 и идет влево к $-\infty$. Поскольку неравенство строгое (знак < ), точка -4 не включается в промежуток, и на прямой она отмечается "выколотым" (пустым) кружком. Область слева от -4 заштриховывается.
Ответ: $x \in (-\infty; -4)$

б) Неравенство $x \geq -12$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые больше или равны -12. На координатной прямой этот промежуток изображается в виде луча, который начинается от точки -12 и идет вправо к $+\infty$. Поскольку неравенство нестрогое (знак $\geq$), точка -12 включается в промежуток и отмечается "закрашенным" (сплошным) кружком. Область справа от -12, включая саму точку, заштриховывается.
Ответ: $x \in [-12; +\infty)$

в) Неравенство $x \leq -10$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые меньше или равны -10. На координатной прямой этот промежуток изображается в виде луча, который начинается от точки -10 и идет влево к $-\infty$. Поскольку неравенство нестрогое (знак $\leq$), точка -10 включается в промежуток и отмечается "закрашенным" кружком. Область слева от -10, включая саму точку, заштриховывается.
Ответ: $x \in (-\infty; -10]$

г) Неравенство $x > 100$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые строго больше 100. На координатной прямой этот промежуток изображается в виде луча, который начинается от точки 100 и идет вправо к $+\infty$. Так как неравенство строгое (знак $>$), точка 100 не включается в промежуток и отмечается "выколотым" кружком. Область справа от 100 заштриховывается.
Ответ: $x \in (100; +\infty)$

д) Двойное неравенство $-30 < x < 30$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые находятся между числами -30 и 30. На координатной прямой это интервал. Так как оба неравенства строгие, граничные точки -30 и 30 не включаются в промежуток и отмечаются "выколотыми" кружками. Заштриховывается область между этими двумя точками.
Ответ: $x \in (-30; 30)$

е) Двойное неравенство $-37 \leq x \leq 54$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые находятся между числами -37 и 54, включая сами эти числа. На координатной прямой это отрезок. Так как оба неравенства нестрогие, граничные точки -37 и 54 включаются в промежуток и отмечаются "закрашенными" кружками. Заштриховывается область между этими двумя точками, включая сами точки.
Ответ: $x \in [-37; 54]$

5.5 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Опишите на алгебраическом языке промежутки, изображённые на рисунке 5.7, а–е.

а) $x \ge -0.5$

б) $x > 0$

в) $- \frac{1}{3} < x < 1$

г) $x \le 1.3$

д) $-0.3 \le x \le 0$

е) $x > \frac{3}{4}$

Рис. 5.7

а) На числовой прямой изображен числовой луч. Точка $-0,5$ отмечена закрашенным кружком, это означает, что данное число входит в промежуток. Заштрихованная область находится справа от этой точки, включая её, и уходит в бесконечность. Это соответствует всем числам, большим или равным $-0,5$. В алгебраической записи используется квадратная скобка для включения конечной точки.
Ответ: $[-0,5; +\infty)$

б) На числовой прямой изображен открытый числовой луч. Точка $0$ отмечена пустым (выколотым) кружком, это означает, что данное число не входит в промежуток. Заштрихованная область находится справа от этой точки, не включая её, и уходит в бесконечность. Это соответствует всем числам, строго большим $0$. В алгебраической записи используется круглая скобка для исключения конечной точки.
Ответ: $(0; +\infty)$

в) На числовой прямой изображен интервал. Граничные точки $-\frac{1}{3}$ и $1$ отмечены пустыми (выколотыми) кружками, что означает, что они не входят в промежуток. Заштрихована область между этими двумя точками. Это соответствует всем числам, которые строго больше $-\frac{1}{3}$ и строго меньше $1$. Такой промежуток называется интервалом и записывается с помощью круглых скобок с обеих сторон.
Ответ: $(-\frac{1}{3}; 1)$

г) На числовой прямой изображен числовой луч. Точка $1,3$ отмечена закрашенным кружком, что означает, что она входит в промежуток. Заштрихованная область находится слева от этой точки, включая её, и уходит в минус бесконечность. Это соответствует всем числам, меньшим или равным $1,3$. В алгебраической записи используется квадратная скобка для включения конечной точки.
Ответ: $(-\infty; 1,3]$

д) На числовой прямой изображен отрезок. Граничные точки $-0,3$ и $0$ отмечены закрашенными кружками, что означает, что они входят в промежуток. Заштрихована область между этими двумя точками. Это соответствует всем числам, которые больше или равны $-0,3$ и меньше или равны $0$. Такой промежуток называется отрезком и записывается с помощью квадратных скобок с обеих сторон.
Ответ: $[-0,3; 0]$

е) На числовой прямой изображен открытый числовой луч. Точка $\frac{3}{4}$ отмечена пустым (выколотым) кружком, что означает, что она не входит в промежуток. Заштрихованная область находится слева от этой точки, не включая её, и уходит в минус бесконечность. Это соответствует всем числам, строго меньшим $\frac{3}{4}$. В алгебраической записи используется круглая скобка для исключения конечной точки.
Ответ: $(-\infty; \frac{3}{4})$

5.6 Изобразите на координатной прямой и опишите на алгебраическом языке:

а) замкнутый луч с началом в точке 2 (сколько существует таких лучей?);

$x \ge 2$

б) открытый луч с началом в точке -1 (сколько существует таких лучей?);

$x > -1$

в) интервал от точки -2 до точки 3;

$-2 < x < 3$

г) отрезок с концами в точках -8 и -2.

$-8 \le x \le -2$

а)

Замкнутый луч — это часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца, причём начальная точка принадлежит лучу. С началом в точке 2 можно построить два таких луча:

1. Луч, направленный в положительную сторону (вправо). Он включает в себя точку 2 и все числа, которые больше 2.
Изображение на координатной прямой: закрашенная точка на отметке 2 и штриховка от неё вправо до бесконечности.
Алгебраическая запись: неравенство $x \ge 2$ или числовой промежуток $[2, +\infty)$.

2. Луч, направленный в отрицательную сторону (влево). Он включает в себя точку 2 и все числа, которые меньше 2.
Изображение на координатной прямой: закрашенная точка на отметке 2 и штриховка от неё влево до бесконечности.
Алгебраическая запись: неравенство $x \le 2$ или числовой промежуток $(-\infty, 2]$.

Таким образом, существует два замкнутых луча с началом в точке 2.

Ответ: Существует два луча: $x \ge 2$ (промежуток $[2, +\infty)$) и $x \le 2$ (промежуток $(-\infty, 2]$).

б)

Открытый луч — это часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца, причём начальная точка лучу не принадлежит. С началом в точке -1 можно построить два таких луча:

1. Луч, направленный вправо. Он включает все числа, строго большие -1.
Изображение на координатной прямой: выколотая (пустая) точка на отметке -1 и штриховка от неё вправо.
Алгебраическая запись: неравенство $x > -1$ или числовой промежуток $(-1, +\infty)$.

2. Луч, направленный влево. Он включает все числа, строго меньшие -1.
Изображение на координатной прямой: выколотая точка на отметке -1 и штриховка от неё влево.
Алгебраическая запись: неравенство $x < -1$ или числовой промежуток $(-\infty, -1)$.

Таким образом, существует два открытых луча с началом в точке -1.

Ответ: Существует два луча: $x > -1$ (промежуток $(-1, +\infty)$) и $x < -1$ (промежуток $(-\infty, -1)$).

в)

Интервал — это множество всех чисел, расположенных между двумя данными точками, при этом сами эти точки (концы интервала) в множество не включаются.

Изображение на координатной прямой: выколотые точки на отметках -2 и 3, а область между ними заштрихована.
Алгебраическая запись: двойное неравенство $-2 < x < 3$ или числовой промежуток $(-2, 3)$.

Ответ: $-2 < x < 3$ или $(-2, 3)$.

г)

Отрезок — это множество всех чисел, расположенных между двумя данными точками, включая сами эти точки (концы отрезка).

Изображение на координатной прямой: закрашенные точки на отметках -8 и -2, а область между ними заштрихована.
Алгебраическая запись: двойное неравенство $-8 \le x \le -2$ или числовой промежуток $[-8, -2]$.

Ответ: $-8 \le x \le -2$ или $[-8, -2]$.

5.7 Какие из точек -6; $ - \frac{1}{3} $; $ - \frac{1}{6} $; 0; 0,4 принадлежат лучу, изображённому на рисунке 5.8?

$ - \frac{1}{5} $

На рисунке изображен числовой луч, который начинается в точке с координатой $-\frac{1}{5}$ и направлен влево, в сторону уменьшения чисел. Точка начала луча (обозначена закрашенным кружком) принадлежит лучу. Следовательно, лучу принадлежат все числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \le -\frac{1}{5}$.

Чтобы определить, какие из заданных точек принадлежат этому лучу, необходимо сравнить каждую из них со значением $-\frac{1}{5}$. Для удобства сравнения можно перевести все числа в десятичные дроби или привести обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Переведем граничное значение в десятичную дробь: $-\frac{1}{5} = -0,2$. Таким образом, условие принадлежности лучу можно записать как $x \le -0,2$.

Проверим каждую из предложенных точек:

-6

Сравним $-6$ и $-0,2$. Так как $-6$ находится на числовой оси левее, чем $-0,2$, то $-6 < -0,2$. Условие $-6 \le -0,2$ выполняется. Следовательно, точка $-6$ принадлежит лучу.

$-\frac{1}{3}$

Переведем дробь $-\frac{1}{3}$ в десятичный вид: $-\frac{1}{3} = -0,333...$. Сравним $-0,333...$ и $-0,2$. Так как $0,333... > 0,2$, для отрицательных чисел получаем $-0,333... < -0,2$. Условие $-\frac{1}{3} \le -\frac{1}{5}$ выполняется. Следовательно, точка $-\frac{1}{3}$ принадлежит лучу.

$-\frac{1}{6}$

Переведем дробь $-\frac{1}{6}$ в десятичный вид: $-\frac{1}{6} \approx -0,166...$. Сравним $-0,166...$ и $-0,2$. Так как $0,166... < 0,2$, для отрицательных чисел получаем $-0,166... > -0,2$. Условие $-\frac{1}{6} \le -\frac{1}{5}$ не выполняется. Следовательно, точка $-\frac{1}{6}$ не принадлежит лучу.

0

Сравним $0$ и $-0,2$. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому $0 > -0,2$. Условие $0 \le -0,2$ не выполняется. Следовательно, точка $0$ не принадлежит лучу.

0,4

Сравним $0,4$ и $-0,2$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $0,4 > -0,2$. Условие $0,4 \le -0,2$ не выполняется. Следовательно, точка $0,4$ не принадлежит лучу.

Ответ: $-6$; $-\frac{1}{3}$.

5.8 Какие из чисел 0; $1/2$; -2; 16 Рис. 5.8

принадлежат промежутку:

a) $x < 16$;

б) $x \ge 0,5$;

в) $2 \le x \le 16$;

г) $0 < x < 1/3$?

а) $x < 16$

Проверим каждое из предложенных чисел (0; $\frac{1}{2}$; -2; 16) на принадлежность промежутку, заданному неравенством $x < 16$. Это неравенство означает, что искомые числа должны быть строго меньше 16.

Число 0: подставляем в неравенство, получаем $0 < 16$. Это верное утверждение, значит, 0 принадлежит промежутку.

Число $\frac{1}{2}$: подставляем в неравенство, получаем $\frac{1}{2} < 16$ (или $0,5 < 16$). Это верное утверждение, значит, $\frac{1}{2}$ принадлежит промежутку.

Число -2: подставляем в неравенство, получаем $-2 < 16$. Это верное утверждение, значит, -2 принадлежит промежутку.

Число 16: подставляем в неравенство, получаем $16 < 16$. Это неверное утверждение, так как 16 равно 16, а неравенство строгое. Значит, 16 не принадлежит промежутку.

Ответ: 0; $\frac{1}{2}$; -2.

б) $x \geq 0,5$

Проверим каждое из предложенных чисел (0; $\frac{1}{2}$; -2; 16) на принадлежность промежутку $x \geq 0,5$. Это неравенство означает, что искомые числа должны быть больше или равны 0,5. Представим дробь $\frac{1}{2}$ как десятичную: $\frac{1}{2} = 0,5$.

Число 0: подставляем в неравенство, получаем $0 \geq 0,5$. Это неверное утверждение, значит, 0 не принадлежит промежутку.

Число $\frac{1}{2}$: подставляем в неравенство, получаем $0,5 \geq 0,5$. Это верное утверждение, так как равенство допускается. Значит, $\frac{1}{2}$ принадлежит промежутку.

Число -2: подставляем в неравенство, получаем $-2 \geq 0,5$. Это неверное утверждение, значит, -2 не принадлежит промежутку.

Число 16: подставляем в неравенство, получаем $16 \geq 0,5$. Это верное утверждение, значит, 16 принадлежит промежутку.

Ответ: $\frac{1}{2}$; 16.

в) $2 \leq x \leq 16$

Проверим каждое из предложенных чисел (0; $\frac{1}{2}$; -2; 16) на принадлежность промежутку $2 \leq x \leq 16$. Это двойное неравенство означает, что число должно быть одновременно больше или равно 2 и меньше или равно 16.

Число 0: проверяем $2 \leq 0 \leq 16$. Первая часть неравенства, $2 \leq 0$, неверна. Значит, 0 не принадлежит промежутку.

Число $\frac{1}{2}$: проверяем $2 \leq \frac{1}{2} \leq 16$. Первая часть неравенства, $2 \leq 0,5$, неверна. Значит, $\frac{1}{2}$ не принадлежит промежутку.

Число -2: проверяем $2 \leq -2 \leq 16$. Первая часть неравенства, $2 \leq -2$, неверна. Значит, -2 не принадлежит промежутку.

Число 16: проверяем $2 \leq 16 \leq 16$. Обе части неравенства верны: $2 \leq 16$ и $16 \leq 16$. Значит, 16 принадлежит промежутку.

Ответ: 16.

г) $0 < x < \frac{1}{3}$

Проверим каждое из предложенных чисел (0; $\frac{1}{2}$; -2; 16) на принадлежность промежутку $0 < x < \frac{1}{3}$. Это двойное неравенство означает, что число должно быть строго больше 0 и строго меньше $\frac{1}{3}$.

Число 0: проверяем $0 < 0 < \frac{1}{3}$. Первая часть, $0 < 0$, неверна, так как 0 не может быть строго больше самого себя. Значит, 0 не принадлежит промежутку.

Число $\frac{1}{2}$: проверяем $0 < \frac{1}{2} < \frac{1}{3}$. Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то неравенство $\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ неверно. Значит, $\frac{1}{2}$ не принадлежит промежутку.

Число -2: проверяем $0 < -2 < \frac{1}{3}$. Первая часть, $0 < -2$, неверна, так как положительное число не может быть меньше отрицательного. Значит, -2 не принадлежит промежутку.

Число 16: проверяем $0 < 16 < \frac{1}{3}$. Вторая часть, $16 < \frac{1}{3}$, неверна. Значит, 16 не принадлежит промежутку.

Ответ: таких чисел нет.

5.9 Найдите точку с целой положительной координатой, принадлежащую отрезку $-0.2 \le x \le 2.7$. Сколько таких точек на отрезке? Сколько точек имеет целую неотрицательную координату?

Задача состоит в том, чтобы найти все целые числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:
1. Число является положительным, то есть $x > 0$.
2. Число принадлежит заданному отрезку, то есть $-0,2 \le x \le 2,7$.
Объединяя эти два условия, мы получаем двойное неравенство для искомых целых чисел $x$: $0 < x \le 2,7$.
Выберем все целые числа, которые находятся в этом интервале.
- Число 1 удовлетворяет условию: $0 < 1 \le 2,7$.
- Число 2 удовлетворяет условию: $0 < 2 \le 2,7$.
- Следующее целое число, 3, уже не входит в этот промежуток, так как $3 > 2,7$.
Таким образом, на заданном отрезке есть две точки с целыми положительными координатами.
Ответ: точки с целой положительной координатой — это 1 и 2.

Как установлено в предыдущем пункте, на отрезке $[-0,2; 2,7]$ существуют две точки с целой положительной координатой: 1 и 2. Их общее количество равно двум.
Ответ: 2.

Теперь нам нужно найти количество целых чисел на том же отрезке, которые являются неотрицательными.
Неотрицательные числа — это ноль и все положительные числа. Математически это записывается как $x \ge 0$.
Таким образом, мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge 0$ и $-0,2 \le x \le 2,7$.
Объединив условия, получаем неравенство для целых чисел: $0 \le x \le 2,7$.
Выберем все целые числа, которые находятся в этом промежутке:
- Число 0 удовлетворяет условию: $0 \le 0 \le 2,7$.
- Число 1 удовлетворяет условию: $0 \le 1 \le 2,7$.
- Число 2 удовлетворяет условию: $0 \le 2 \le 2,7$.
Следующее целое число, 3, уже не подходит.
Следовательно, на отрезке есть три точки с целой неотрицательной координатой: 0, 1 и 2. Их общее количество равно трем.
Ответ: 3.

5.10 Сколько целых чисел принадлежит:

а) интервалу $-1,5 < x < 4$;

б) отрезку $-1,5 \le x \le 4$;

в) лучу $x > -1$;

г) лучу $x \ge -1$?

а) интервалу $-1,5 < x < 4$
Требуется найти количество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству $-1,5 < x < 4$. Целые числа — это числа без дробной части. Найдём все целые числа, которые находятся между $-1,5$ и $4$. Первое целое число, большее $-1,5$, это $-1$. Последнее целое число, меньшее $4$, это $3$. Перечислим все такие целые числа: $-1, 0, 1, 2, 3$. Подсчитав их, получаем 5 чисел.
Ответ: 5.

б) отрезку $-1,5 \le x \le 4$
Требуется найти количество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству $-1,5 \le x \le 4$. Это означает, что мы ищем целые числа, которые больше или равны $-1,5$ и меньше или равны $4$. Первое целое число, которое не меньше $-1,5$, это $-1$. Так как неравенство нестрогое ($ \le $), и число $4$ является целым, оно также входит в искомый набор. Перечислим все такие целые числа: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$. Подсчитав их, получаем 6 чисел.
Ответ: 6.

в) лучу $x > -1$
Требуется найти количество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству $x > -1$. Мы ищем все целые числа, которые строго больше $-1$. Первое такое целое число — это $0$. Далее следуют $1, 2, 3$ и так далее. Этот ряд чисел не имеет конца, он уходит в положительную бесконечность. Следовательно, количество таких целых чисел бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

г) лучу $x \ge -1$
Требуется найти количество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству $x \ge -1$. Мы ищем все целые числа, которые больше или равны $-1$. Первым таким целым числом является само число $-1$. Далее следуют $0, 1, 2, 3$ и так далее. Этот ряд чисел также не имеет конца. Следовательно, количество таких целых чисел бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

5.11 Назовите наименьшее и наибольшее целые числа, принадлежащие указанному промежутку (если такие существуют):

а) интервалу $-15 < x < 3$;

б) отрезку $-2,5 \le x \le 8$;

в) лучу $x < 5$;

г) лучу $x \ge 0$.

а) Задан интервал $-15 < x < 3$. Это строгое неравенство, означающее, что числа $x$ находятся строго между -15 и 3, не включая сами концы интервала. Мы ищем целые числа в этом промежутке. Наименьшее целое число, которое больше -15, это следующее за ним целое число, то есть -14. Наибольшее целое число, которое меньше 3, это предшествующее ему целое число, то есть 2.
Ответ: наименьшее целое число – -14, наибольшее целое число – 2.

б) Задан отрезок $-2,5 \le x \le 8$. Это нестрогое неравенство, поэтому концы отрезка, числа -2,5 и 8, включаются в промежуток. Мы ищем целые числа в этом промежутке. Наименьшее целое число, которое больше или равно -2,5, это -2. Наибольшее целое число, которое меньше или равно 8, это 8.
Ответ: наименьшее целое число – -2, наибольшее целое число – 8.

в) Задан луч $x \le 5$. Этот промежуток включает число 5 и все числа, которые меньше 5. Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию, выглядит так: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. В этом множестве есть наибольшее целое число, и оно равно 5. Однако, поскольку промежуток неограничен слева (уходит в минус бесконечность), наименьшего целого числа в нем не существует.
Ответ: наименьшего целого числа не существует, наибольшее целое число – 5.

г) Задан луч $x \ge 0$. Этот промежуток включает число 0 и все числа, которые больше 0. Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию, выглядит так: $\{0, 1, 2, 3, ...\}$. В этом множестве есть наименьшее целое число, и оно равно 0. Однако, поскольку промежуток неограничен справа (уходит в плюс бесконечность), наибольшего целого числа в нем не существует.
Ответ: наименьшее целое число – 0, наибольшего целого числа не существует.