Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.78 Найдите натуральный корень уравнения:

а) $x(x-1)=6;$

б) $x^2+x=12.$

а) $x(x-1) = 6$

Для нахождения натурального корня данного уравнения можно использовать два способа.

Способ 1: Подбор.

Поскольку мы ищем натуральный корень (т.е. целое положительное число), можно заметить, что левая часть уравнения $x(x-1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Нам нужно найти такое натуральное число $x$, чтобы произведение его и предыдущего числа $(x-1)$ было равно 6. Разложим число 6 на множители, которые являются последовательными целыми числами: $6 = 3 \cdot 2$. Так как $x > x-1$, то логично предположить, что $x=3$ и $x-1=2$. Проверим: если $x=3$, то $3 \cdot (3-1) = 3 \cdot 2 = 6$. Уравнение выполняется. Следовательно, $x=3$ является натуральным корнем.

Способ 2: Решение квадратного уравнения.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - x = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=-6$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Уравнение имеет два корня: $3$ и $-2$. По условию задачи требуется найти натуральный корень. Из этих двух корней только $3$ является натуральным числом.

Ответ: 3

б) $x^2 + x = 12$

Это уравнение также можно решить двумя способами.

Способ 1: Подбор.

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения: $x(x+1) = 12$.

Левая часть представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел $x$ и $x+1$. Разложим число 12 на множители, которые являются последовательными целыми числами: $12 = 3 \cdot 4$. Так как $x < x+1$, то можно предположить, что $x=3$ и $x+1=4$. Проверим: если $x=3$, то $3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$. Уравнение выполняется. Значит, $x=3$ — искомый натуральный корень.

Способ 2: Решение квадратного уравнения.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1$, $b=1$, $c=-12$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Уравнение имеет два корня: $3$ и $-4$. По условию задачи требуется найти натуральный корень. Из этих двух корней только $3$ является натуральным числом.

Ответ: 3

4.79 Найдите все целые корни уравнения:

а) $x(x+2) = 35;$

б) $x^2 + x = 6.$

а) $x(x+2) = 35$

Поскольку по условию задачи требуется найти целые корни, то $x$ и $(x+2)$ должны быть целыми числами. Их произведение равно 35. Это означает, что $x$ и $(x+2)$ являются парой целых делителей числа 35, которые отличаются друг от друга на 2.

Выпишем пары целых делителей числа 35:

• 1 и 35
• 5 и 7
• -1 и -35
• -5 и -7

Теперь выберем из этих пар те, в которых разница между числами равна 2. Таких пар две:

1. Пара (5, 7). В этом случае меньшее число $x=5$, а большее $x+2=7$. Проверяем: $5+2=7$. Это дает нам первый корень $x_1=5$.

2. Пара (-7, -5). В этом случае меньшее число $x=-7$, а большее $x+2=-5$. Проверяем: $-7+2=-5$. Это дает нам второй корень $x_2=-7$.

Проведем проверку найденных корней:

Для $x=5$: $5(5+2) = 5 \cdot 7 = 35$. Верно.

Для $x=-7$: $-7(-7+2) = -7 \cdot (-5) = 35$. Верно.

Ответ: -7; 5.

б) $x^2 + x = 6$

Для решения перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант. Воспользуемся дискриминантом.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=1, c=-6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Оба корня, 2 и -3, являются целыми числами, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -3; 2.

4.80 Найдите целые корни уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25.$

Для того чтобы найти целые корни уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25$, мы сначала преобразуем его в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

Раскроем скобки в выражении $(x-1)^2$, используя формулу квадрата разности:

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$(x^2 - 2x + 1) + x^2 = 25$

Сложим подобные члены:

$2x^2 - 2x + 1 = 25$

Перенесем 25 в левую часть уравнения:

$2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0$

$2x^2 - 2x - 24 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 2:

$x^2 - x - 12 = 0$

Теперь мы имеем приведенное квадратное уравнение, которое можно решить несколькими способами.

Способ 1: Решение через дискриминант

Для уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-1$, $c=-12$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Способ 2: Решение по теореме Виета

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ по теореме Виета сумма корней равна $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Нам нужно найти два целых числа, сумма которых равна 1, а произведение -12. Методом подбора легко определить, что это числа 4 и -3, так как:

$4 + (-3) = 1$

$4 \cdot (-3) = -12$

Таким образом, корни уравнения: $x_1=4$ и $x_2=-3$.

Оба найденных корня являются целыми числами, что соответствует условию задачи.

Проверка:

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение $(x-1)^2 + x^2 = 25$.

При $x = 4$:

$(4-1)^2 + 4^2 = 3^2 + 16 = 9 + 16 = 25$. Верно.

При $x = -3$:

$(-3-1)^2 + (-3)^2 = (-4)^2 + 9 = 16 + 9 = 25$. Верно.

Ответ: -3; 4.

4.81 Один из корней уравнения $ \frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11 $ натуральный.
Найдите его перебором.

4.81 Дано уравнение $\frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11$. Согласно условию, один из его корней — натуральное число. Задача состоит в том, чтобы найти этот корень методом перебора.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x \neq 0$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ исключает значения -1, 0 и 1.

По условию, мы ищем корень среди натуральных чисел, то есть $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Учитывая ОДЗ, $x=1$ не может быть корнем. Следовательно, начинаем перебор с наименьшего подходящего натурального числа, то есть с $x=2$.

Выполним проверку для $x=2$, подставив это значение в левую часть уравнения:

$\frac{6}{2-1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{2+1} = \frac{6}{1} + 3 + \frac{6}{3} = 6 + 3 + 2 = 11$.

Результат вычисления левой части ($11$) совпадает с правой частью уравнения. Равенство $11 = 11$ верно. Это означает, что $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку 2 — это натуральное число, мы нашли искомый корень.

Для полноты решения можно показать, что других натуральных корней нет. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1}$. На множестве натуральных чисел $x \ge 2$ все слагаемые этой функции положительны. При увеличении $x$ каждый из знаменателей ($x-1$, $x$, $x+1$) возрастает, а значит, каждая из дробей уменьшается. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей для всех $x > 1$.

Поскольку мы нашли, что $f(2) = 11$, для любого натурального числа $x > 2$ значение функции будет меньше 11. Например, для $x=3$:

$f(3) = \frac{6}{3-1} + \frac{6}{3} + \frac{6}{3+1} = \frac{6}{2} + 2 + \frac{6}{4} = 3 + 2 + 1.5 = 6.5$.

Так как $6.5 < 11$, это подтверждает, что $x=2$ — единственный натуральный корень.

Ответ: 2.

4.82 Периметр прямоугольника, стороны которого выражены целым числом сантиметров, равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 $см^2$; 40 $см^2$?

Пусть стороны прямоугольника равны a и b сантиметров. Согласно условию задачи, a и b являются целыми числами.

Периметр прямоугольника P вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, периметр равен 28 см.

Таким образом, мы имеем уравнение: $2(a + b) = 28$.

Разделив обе части уравнения на 2, получаем сумму длин сторон: $a + b = 14$.

Площадь прямоугольника S вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нам нужно найти все возможные пары целых положительных чисел a и b, сумма которых равна 14, и вычислить соответствующую им площадь. Перечислим все такие пары (считая, что $a \le b$ во избежание повторений) и их площади:
1. Если $a = 1$ см, то $b = 13$ см. Площадь $S = 1 \cdot 13 = 13$ см².
2. Если $a = 2$ см, то $b = 12$ см. Площадь $S = 2 \cdot 12 = 24$ см².
3. Если $a = 3$ см, то $b = 11$ см. Площадь $S = 3 \cdot 11 = 33$ см².
4. Если $a = 4$ см, то $b = 10$ см. Площадь $S = 4 \cdot 10 = 40$ см².
5. Если $a = 5$ см, то $b = 9$ см. Площадь $S = 5 \cdot 9 = 45$ см².
6. Если $a = 6$ см, то $b = 8$ см. Площадь $S = 6 \cdot 8 = 48$ см².
7. Если $a = 7$ см, то $b = 7$ см. Площадь $S = 7 \cdot 7 = 49$ см².

Может ли его площадь быть равной 33 см²?
Да, может. Как видно из пункта 3 нашего перебора, существует прямоугольник со сторонами 3 см и 11 см. Его стороны выражены целыми числами, а периметр равен $2(3 + 11) = 28$ см. При этом его площадь составляет $3 \cdot 11 = 33$ см², что соответствует условию.
Ответ: да, может.

Может ли его площадь быть равной 40 см²?
Да, может. Как видно из пункта 4 нашего перебора, существует прямоугольник со сторонами 4 см и 10 см. Его стороны выражены целыми числами, а периметр равен $2(4 + 10) = 28$ см. При этом его площадь составляет $4 \cdot 10 = 40$ см², что соответствует условию.
Ответ: да, может.

4.83 В школе был проведён шахматный турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим одну партию. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 28 партий?

Пусть $n$ — это количество шахматистов, участвовавших в турнире.

По условию, каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Это означает, что общее количество партий равно числу всех возможных пар игроков, которые можно составить из $n$ участников. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 2.

Формула для расчета количества сочетаний из $n$ по 2 (что в данном случае равно количеству партий) выглядит так: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В условии сказано, что всего было сыграно 28 партий. Подставим это значение в нашу формулу и получим уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Чтобы решить это уравнение, сначала умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 28 \cdot 2$ $n(n-1) = 56$

Теперь необходимо найти значение $n$. Это можно сделать, решив квадратное уравнение или методом подбора.

Решение через квадратное уравнение:

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - n = 56$ $n^2 - n - 56 = 0$

Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-1$, $c=-56$. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Так как количество шахматистов ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -7$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Следовательно, в турнире участвовало 8 шахматистов.

Проверка: Если в турнире было 8 участников, то каждый из них сыграл с 7-ю другими. Общее количество партий будет равно $\frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$. Это совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 8.