Номер 4.79, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.79 Найдите все целые корни уравнения:

а) $x(x+2) = 35;$

б) $x^2 + x = 6.$

а) $x(x+2) = 35$

Поскольку по условию задачи требуется найти целые корни, то $x$ и $(x+2)$ должны быть целыми числами. Их произведение равно 35. Это означает, что $x$ и $(x+2)$ являются парой целых делителей числа 35, которые отличаются друг от друга на 2.

Выпишем пары целых делителей числа 35:

• 1 и 35
• 5 и 7
• -1 и -35
• -5 и -7

Теперь выберем из этих пар те, в которых разница между числами равна 2. Таких пар две:

1. Пара (5, 7). В этом случае меньшее число $x=5$, а большее $x+2=7$. Проверяем: $5+2=7$. Это дает нам первый корень $x_1=5$.

2. Пара (-7, -5). В этом случае меньшее число $x=-7$, а большее $x+2=-5$. Проверяем: $-7+2=-5$. Это дает нам второй корень $x_2=-7$.

Проведем проверку найденных корней:

Для $x=5$: $5(5+2) = 5 \cdot 7 = 35$. Верно.

Для $x=-7$: $-7(-7+2) = -7 \cdot (-5) = 35$. Верно.

Ответ: -7; 5.

б) $x^2 + x = 6$

Для решения перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант. Воспользуемся дискриминантом.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=1, c=-6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Оба корня, 2 и -3, являются целыми числами, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -3; 2.