Номер 1, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

Что называется корнем уравнения?

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. То есть, это число, которое "удовлетворяет" уравнению, обращая его в истинное высказывание.

Например, рассмотрим уравнение $2x - 4 = 6$. Число $5$ является корнем этого уравнения, потому что при подстановке $x = 5$ мы получаем верное равенство: $2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6$, что соответствует правой части уравнения. Если же мы подставим, например, число $3$, то получим $2 \cdot 3 - 4 = 2$, что не равно $6$, значит, $3$ не является корнем.

Ответ: Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает это уравнение в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что у него нет корней. Процесс решения подразумевает нахождение полного множества всех значений переменной, которые удовлетворяют данному уравнению.

Возможны три исхода при решении уравнения:

• Уравнение имеет конечное число корней. Например, уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Решить это уравнение — значит найти оба этих корня.
• Уравнение не имеет корней. Например, уравнение $x + 5 = x + 1$ не имеет решений, так как ни при каком значении $x$ равенство не может быть верным. В этом случае говорят, что множество решений пусто ($\emptyset$).
• Уравнение имеет бесконечное множество корней. Это происходит, когда уравнение является тождеством, то есть верным равенством для любого допустимого значения переменной. Например, $2(x+1) = 2x+2$. Решением здесь будет любое число.

Таким образом, решение уравнения — это исчерпывающий ответ на вопрос о том, какие числа являются его корнями.

Ответ: Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их не существует.