Номер 4.78, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений (Узнайте больше). Глава 4. Уравнения - номер 4.78, страница 107.

4.78 Найдите натуральный корень уравнения:

а) $x(x-1)=6;$

б) $x^2+x=12.$

а) $x(x-1) = 6$

Для нахождения натурального корня данного уравнения можно использовать два способа.

Способ 1: Подбор.

Поскольку мы ищем натуральный корень (т.е. целое положительное число), можно заметить, что левая часть уравнения $x(x-1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Нам нужно найти такое натуральное число $x$, чтобы произведение его и предыдущего числа $(x-1)$ было равно 6. Разложим число 6 на множители, которые являются последовательными целыми числами: $6 = 3 \cdot 2$. Так как $x > x-1$, то логично предположить, что $x=3$ и $x-1=2$. Проверим: если $x=3$, то $3 \cdot (3-1) = 3 \cdot 2 = 6$. Уравнение выполняется. Следовательно, $x=3$ является натуральным корнем.

Способ 2: Решение квадратного уравнения.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - x = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=-6$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Уравнение имеет два корня: $3$ и $-2$. По условию задачи требуется найти натуральный корень. Из этих двух корней только $3$ является натуральным числом.

Ответ: 3

б) $x^2 + x = 12$

Это уравнение также можно решить двумя способами.

Способ 1: Подбор.

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения: $x(x+1) = 12$.

Левая часть представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел $x$ и $x+1$. Разложим число 12 на множители, которые являются последовательными целыми числами: $12 = 3 \cdot 4$. Так как $x < x+1$, то можно предположить, что $x=3$ и $x+1=4$. Проверим: если $x=3$, то $3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$. Уравнение выполняется. Значит, $x=3$ — искомый натуральный корень.

Способ 2: Решение квадратного уравнения.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1$, $b=1$, $c=-12$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Уравнение имеет два корня: $3$ и $-4$. По условию задачи требуется найти натуральный корень. Из этих двух корней только $3$ является натуральным числом.

Ответ: 3