Номер 4.83, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.83 В школе был проведён шахматный турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим одну партию. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 28 партий?

Пусть $n$ — это количество шахматистов, участвовавших в турнире.

По условию, каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Это означает, что общее количество партий равно числу всех возможных пар игроков, которые можно составить из $n$ участников. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 2.

Формула для расчета количества сочетаний из $n$ по 2 (что в данном случае равно количеству партий) выглядит так: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В условии сказано, что всего было сыграно 28 партий. Подставим это значение в нашу формулу и получим уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Чтобы решить это уравнение, сначала умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 28 \cdot 2$ $n(n-1) = 56$

Теперь необходимо найти значение $n$. Это можно сделать, решив квадратное уравнение или методом подбора.

Решение через квадратное уравнение:

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - n = 56$ $n^2 - n - 56 = 0$

Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-1$, $c=-56$. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Так как количество шахматистов ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -7$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Следовательно, в турнире участвовало 8 шахматистов.

Проверка: Если в турнире было 8 участников, то каждый из них сыграл с 7-ю другими. Общее количество партий будет равно $\frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$. Это совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 8.