Номер 4.80, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.80 Найдите целые корни уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25.$

Для того чтобы найти целые корни уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25$, мы сначала преобразуем его в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

Раскроем скобки в выражении $(x-1)^2$, используя формулу квадрата разности:

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$(x^2 - 2x + 1) + x^2 = 25$

Сложим подобные члены:

$2x^2 - 2x + 1 = 25$

Перенесем 25 в левую часть уравнения:

$2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0$

$2x^2 - 2x - 24 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 2:

$x^2 - x - 12 = 0$

Теперь мы имеем приведенное квадратное уравнение, которое можно решить несколькими способами.

Способ 1: Решение через дискриминант

Для уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-1$, $c=-12$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Способ 2: Решение по теореме Виета

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ по теореме Виета сумма корней равна $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Нам нужно найти два целых числа, сумма которых равна 1, а произведение -12. Методом подбора легко определить, что это числа 4 и -3, так как:

$4 + (-3) = 1$

$4 \cdot (-3) = -12$

Таким образом, корни уравнения: $x_1=4$ и $x_2=-3$.

Оба найденных корня являются целыми числами, что соответствует условию задачи.

Проверка:

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение $(x-1)^2 + x^2 = 25$.

При $x = 4$:

$(4-1)^2 + 4^2 = 3^2 + 16 = 9 + 16 = 25$. Верно.

При $x = -3$:

$(-3-1)^2 + (-3)^2 = (-4)^2 + 9 = 16 + 9 = 25$. Верно.

Ответ: -3; 4.