Номер 4.81, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.81 Один из корней уравнения $ \frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11 $ натуральный.
Найдите его перебором.

4.81 Дано уравнение $\frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11$. Согласно условию, один из его корней — натуральное число. Задача состоит в том, чтобы найти этот корень методом перебора.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x \neq 0$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ исключает значения -1, 0 и 1.

По условию, мы ищем корень среди натуральных чисел, то есть $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Учитывая ОДЗ, $x=1$ не может быть корнем. Следовательно, начинаем перебор с наименьшего подходящего натурального числа, то есть с $x=2$.

Выполним проверку для $x=2$, подставив это значение в левую часть уравнения:

$\frac{6}{2-1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{2+1} = \frac{6}{1} + 3 + \frac{6}{3} = 6 + 3 + 2 = 11$.

Результат вычисления левой части ($11$) совпадает с правой частью уравнения. Равенство $11 = 11$ верно. Это означает, что $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку 2 — это натуральное число, мы нашли искомый корень.

Для полноты решения можно показать, что других натуральных корней нет. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1}$. На множестве натуральных чисел $x \ge 2$ все слагаемые этой функции положительны. При увеличении $x$ каждый из знаменателей ($x-1$, $x$, $x+1$) возрастает, а значит, каждая из дробей уменьшается. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей для всех $x > 1$.

Поскольку мы нашли, что $f(2) = 11$, для любого натурального числа $x > 2$ значение функции будет меньше 11. Например, для $x=3$:

$f(3) = \frac{6}{3-1} + \frac{6}{3} + \frac{6}{3+1} = \frac{6}{2} + 2 + \frac{6}{4} = 3 + 2 + 1.5 = 6.5$.

Так как $6.5 < 11$, это подтверждает, что $x=2$ — единственный натуральный корень.

Ответ: 2.