Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

Что называется корнем уравнения?

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. То есть, это число, которое "удовлетворяет" уравнению, обращая его в истинное высказывание.

Например, рассмотрим уравнение $2x - 4 = 6$. Число $5$ является корнем этого уравнения, потому что при подстановке $x = 5$ мы получаем верное равенство: $2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6$, что соответствует правой части уравнения. Если же мы подставим, например, число $3$, то получим $2 \cdot 3 - 4 = 2$, что не равно $6$, значит, $3$ не является корнем.

Ответ: Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает это уравнение в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что у него нет корней. Процесс решения подразумевает нахождение полного множества всех значений переменной, которые удовлетворяют данному уравнению.

Возможны три исхода при решении уравнения:

• Уравнение имеет конечное число корней. Например, уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Решить это уравнение — значит найти оба этих корня.
• Уравнение не имеет корней. Например, уравнение $x + 5 = x + 1$ не имеет решений, так как ни при каком значении $x$ равенство не может быть верным. В этом случае говорят, что множество решений пусто ($\emptyset$).
• Уравнение имеет бесконечное множество корней. Это происходит, когда уравнение является тождеством, то есть верным равенством для любого допустимого значения переменной. Например, $2(x+1) = 2x+2$. Решением здесь будет любое число.

Таким образом, решение уравнения — это исчерпывающий ответ на вопрос о том, какие числа являются его корнями.

Ответ: Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их не существует.

2 Сформулируйте два основных правила преобразования уравнений.

Преобразования уравнений основаны на свойствах числовых равенств. Основная цель таких преобразований — упростить уравнение для нахождения его корней, при этом не потеряв существующие корни и не приобретя посторонние. Этот процесс называется решением уравнения с помощью равносильных преобразований. Существуют два основных правила.

Правило 1

Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число или выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменных, то получится уравнение, равносильное исходному.
Из этого правила вытекает практический приём: любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Пример:

Рассмотрим уравнение $5x - 7 = 3x + 5$.

Чтобы собрать слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой, перенесём $3x$ из правой части в левую и $-7$ из левой части в правую, изменив их знаки:

$5x - 3x = 5 + 7$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$2x = 12$

Это уравнение равносильно исходному.

Правило 2

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное исходному. Также можно умножать или делить на выражение, содержащее переменную, если это выражение не обращается в ноль в области допустимых значений исходного уравнения.

Пример:

Вернёмся к уравнению $2x = 12$, полученному на предыдущем шаге.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2 (число 2 не равно нулю):

$\frac{2x}{2} = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Корень исходного уравнения найден.

Ответ: Два основных правила преобразования уравнений:
1. Можно переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, изменив их знак на противоположный.
2. Можно умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число или выражение, которое не равно нулю.

3 Опишите по шагам решение уравнения $5(x - 4) = 3x + 10$.

Для решения уравнения $5(x - 4) = 3x + 10$ необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Раскрытие скобок

Первым делом необходимо раскрыть скобки в левой части уравнения, используя распределительный закон умножения $a(b - c) = ab - ac$.
Умножаем 5 на каждый член в скобках: $5 \cdot x - 5 \cdot 4$.
В результате получаем: $5x - 20$.
Теперь уравнение выглядит так: $5x - 20 = 3x + 10$.

Шаг 2. Группировка слагаемых

Теперь нужно сгруппировать слагаемые: члены с переменной $x$ перенести в левую часть уравнения, а числовые члены (константы) — в правую. Важно помнить, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
Переносим $3x$ влево со знаком минус, а $-20$ вправо со знаком плюс:
$5x - 3x = 10 + 20$.

Шаг 3. Приведение подобных слагаемых

Упростим обе части уравнения, выполнив соответствующие арифметические действия:
В левой части: $5x - 3x = 2x$.
В правой части: $10 + 20 = 30$.
Уравнение принимает простой вид: $2x = 30$.

Шаг 4. Нахождение корня уравнения

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 2:
$\frac{2x}{2} = \frac{30}{2}$
$x = 15$.

Шаг 5. Проверка решения

Чтобы убедиться в правильности найденного корня, подставим значение $x=15$ в исходное уравнение:
$5(15 - 4) = 3(15) + 10$
$5(11) = 45 + 10$
$55 = 55$
Так как левая и правая части уравнения равны, решение найдено верно.

Ответ: $15$.

4 Какое уравнение называется линейным? Приведите пример линейного уравнения.

Какое уравнение называется линейным? Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ является переменной (неизвестной), а $a$ и $b$ — некоторыми известными числами (коэффициентами). Важнейшей характеристикой такого уравнения является то, что переменная $x$ входит в него в первой степени (т.е. нет $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ и т.п.). Также линейными называют любые уравнения, которые можно свести к виду $ax=b$ с помощью алгебраических преобразований, таких как перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака или умножение/деление обеих частей на одно и то же число, не равное нулю.
Ответ: Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа.

Приведите пример линейного уравнения. В качестве примера рассмотрим уравнение $5x - 7 = 3$. Это линейное уравнение, потому что переменная $x$ находится в первой степени, и его можно привести к стандартному виду $ax=b$. Давайте решим его:
1. Перенесем свободный член (-7) из левой части в правую, поменяв его знак на противоположный:
$5x = 3 + 7$
2. Упростим правую часть уравнения:
$5x = 10$
Теперь уравнение представлено в классическом виде $ax=b$, где $a=5$ и $b=10$.
3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент $a=5$:
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$
Ответ: $5x - 7 = 3$.

5 Разъясните суть алгебраического метода решения задач на примере следующей задачи:

«Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?»

Суть алгебраического метода решения задач

Алгебраический метод решения задач — это способ, при котором для нахождения неизвестной величины вводят переменную (обычно латинскую букву, например, x). Затем, используя условия и зависимости, описанные в задаче, составляют математическое уравнение. Решение этого уравнения позволяет найти значение введенной переменной, что и является ответом на вопрос задачи.

Процесс решения можно разбить на следующие основные этапы:

1. Введение переменной для обозначения искомой величины.

2. Составление уравнения на основе текста задачи (перевод с обычного языка на математический).

3. Решение полученного уравнения.

4. Проверка найденного корня и запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Пример решения задачи

Рассмотрим применение этого метода на задаче: «Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?»

1. Введение переменной.
Пусть x — это число, которое задумал ученик.

2. Составление уравнения.
Проследим за действиями, описанными в задаче:

- Задуманное число умножили на 4, что можно записать как $4x$.

- Из результата вычли 5, получив выражение $4x - 5$.

По условию, в итоге получилось удвоенное задуманное число, то есть $2x$. Приравнивая результат действий к удвоенному числу, составляем уравнение: $$4x - 5 = 2x$$

3. Решение уравнения.
Для решения уравнения перенесем все слагаемые с переменной x в левую часть, а числовые значения — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный. $$4x - 2x = 5$$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $$2x = 5$$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти x: $$x = \frac{5}{2}$$ $$x = 2.5$$

4. Проверка и запись ответа.
Мы нашли, что задуманное число равно 2,5. Проверим, соответствует ли это условию задачи:

- Умножим задуманное число на 4: $2.5 \cdot 4 = 10$.

- Вычтем из результата 5: $10 - 5 = 5$.

Результат равен 5. Удвоенное задуманное число также равно $2 \cdot 2.5 = 5$. Так как результаты совпали, решение верное.

Ответ: 2,5.

1 Какие из чисел -3, -2, -1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0?$

Чтобы определить, какие из чисел $-3, -2, -1, 1, 2, 3$ являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$, необходимо поочередно подставить каждое из этих чисел вместо переменной $x$ в уравнение и проверить, выполняется ли равенство (то есть, обращается ли левая часть уравнения в ноль).

Проверка для числа -3:
Подставляем $x = -3$ в уравнение: $(-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.
Получили верное равенство $0 = 0$. Следовательно, число $-3$ является корнем уравнения.

Проверка для числа -2:
Подставляем $x = -2$ в уравнение: $(-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.
Равенство $-3 = 0$ неверно. Следовательно, число $-2$ не является корнем уравнения.

Проверка для числа -1:
Подставляем $x = -1$ в уравнение: $(-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Равенство $-4 = 0$ неверно. Следовательно, число $-1$ не является корнем уравнения.

Проверка для числа 1:
Подставляем $x = 1$ в уравнение: $1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
Получили верное равенство $0 = 0$. Следовательно, число $1$ является корнем уравнения.

Проверка для числа 2:
Подставляем $x = 2$ в уравнение: $2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$.
Равенство $5 = 0$ неверно. Следовательно, число $2$ не является корнем уравнения.

Проверка для числа 3:
Подставляем $x = 3$ в уравнение: $3^2 + 2 \cdot 3 - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$.
Равенство $12 = 0$ неверно. Следовательно, число $3$ не является корнем уравнения.

В результате проверки было установлено, что только два числа из предложенного списка являются корнями уравнения.

Ответ: $-3; 1$.

2 $-8x = 3,2.$

2 Дано линейное уравнение с одной переменной:
$-8x = 3,2$
Для того чтобы найти неизвестную переменную $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент, стоящий перед $x$, то есть на $-8$.
$x = \frac{3,2}{-8}$
При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным.
$x = -(3,2 \div 8)$
$x = -0,4$
Проверим полученный результат, подставив значение $x$ в исходное уравнение:
$-8 \cdot (-0,4) = 3,2$
$3,2 = 3,2$
Равенство выполняется, следовательно, корень уравнения найден верно.
Ответ: $-0,4$

3 $\frac{2}{3}x = 6.$

3. Дано линейное уравнение с одной переменной:

$\frac{2}{3}x = 6$

Чтобы найти значение $x$, необходимо изолировать эту переменную в левой части уравнения. Для этого нужно избавиться от коэффициента $\frac{2}{3}$, который стоит перед $x$.

Способ 1: Умножение на обратное число

Можно умножить обе части уравнения на число, обратное коэффициенту. Число, обратное к $\frac{2}{3}$, это $\frac{3}{2}$.

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$:

$(\frac{3}{2}) \cdot (\frac{2}{3}x) = 6 \cdot (\frac{3}{2})$

В левой части произведение дробей $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ равно 1, поэтому остается только $x$:

$1 \cdot x = \frac{6 \cdot 3}{2}$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Способ 2: Пошаговое избавление от коэффициента

1. Сначала избавимся от знаменателя 3, умножив обе части уравнения на 3:

$3 \cdot \frac{2}{3}x = 6 \cdot 3$

$2x = 18$

2. Теперь разделим обе части на коэффициент 2, который стоит перед $x$:

$\frac{2x}{2} = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Проверка:

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденное значение $x=9$ в исходное уравнение:

$\frac{2}{3} \cdot 9 = 6$

$\frac{2 \cdot 9}{3} = 6$

$\frac{18}{3} = 6$

$6 = 6$

Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $9$

4 $4 - 5x = 0.$

4.

Дано линейное уравнение:

$4 - 5x = 0$

Чтобы решить это уравнение, необходимо найти значение переменной $x$.

1. Сначала изолируем член, содержащий переменную $x$. Для этого перенесем свободный член (число 4) из левой части уравнения в правую. При переносе через знак равенства знак числа меняется на противоположный. Это эквивалентно вычитанию 4 из обеих частей уравнения:

$4 - 5x - 4 = 0 - 4$

$-5x = -4$

2. Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -5:

$x = \frac{-4}{-5}$

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число:

$x = \frac{4}{5}$

3. Преобразуем полученную обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$x = 0.8$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$4 - 5 \cdot (0.8) = 4 - 4 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $0.8$

5 $10x + 7 = 3.$

Дано линейное уравнение с одной переменной:

$10x + 7 = 3$

Для решения уравнения необходимо найти значение переменной x. Первым шагом изолируем слагаемое, содержащее x, в левой части уравнения. Для этого перенесем число 7 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.

$10x = 3 - 7$

Теперь выполним вычитание в правой части уравнения:

$10x = -4$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на 10:

$x = \frac{-4}{10}$

Полученную дробь можно представить в виде десятичной дроби:

$x = -0.4$

Для проверки можно подставить найденное значение x в исходное уравнение:

$10 \cdot (-0.4) + 7 = -4 + 7 = 3$

$3 = 3$

Так как равенство верное, решение найдено правильно.

Ответ: $-0.4$

6 $3 - 4x = x - 12.$

6

Дано линейное уравнение с одной переменной: $3 - 4x = x - 12$.

Цель — найти значение $x$, при котором равенство будет верным. Для этого нужно изолировать переменную $x$ на одной стороне уравнения.

Шаг 1: Сгруппируем все члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а все постоянные члены (числа) — в другой. Удобнее перенести $-4x$ вправо, а $-12$ влево, чтобы работать с положительными коэффициентами при $x$. При переносе члена из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$3 + 12 = x + 4x$

Шаг 2: Упростим обе части уравнения, выполнив сложение.

$15 = 5x$

Шаг 3: Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5.

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Шаг 4: Выполним проверку, подставив найденное значение $x = 3$ в исходное уравнение.

$3 - 4(3) = 3 - 12$

$3 - 12 = -9$

$-9 = -9$

Так как левая и правая части уравнения равны, решение найдено верно.

Ответ: $x = 3$.

7 $(x + 7) - (3x + 5) = 2.$

7.

Дано уравнение: $(x + 7) - (3x + 5) = 2$.

Для его решения сначала раскроем скобки. Перед первой скобкой нет знака (подразумевается «плюс»), поэтому знаки слагаемых в ней не меняются. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки всех слагаемых внутри неё меняются на противоположные.

$x + 7 - 3x - 5 = 2$

Теперь приведём подобные слагаемые в левой части уравнения. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(x - 3x) + (7 - 5) = 2$

Выполним вычисления:

$-2x + 2 = 2$

Далее, перенесём число 2 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный, чтобы изолировать слагаемое с переменной:

$-2x = 2 - 2$

$-2x = 0$

Наконец, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -2:

$x = \frac{0}{-2}$

$x = 0$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x = 0$ в исходное уравнение:

$(0 + 7) - (3 \cdot 0 + 5) = 2$

$7 - (0 + 5) = 2$

$7 - 5 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $0$.

8 $3(2x - 1) + 12 = x.$

Для решения данного линейного уравнения $3(2x - 1) + 12 = x$ необходимо выполнить следующие шаги.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, применив распределительный закон умножения. Умножим 3 на каждый член внутри скобок:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 + 12 = x$

$6x - 3 + 12 = x$

Далее, упростим левую часть, сложив постоянные члены -3 и 12:

$6x + 9 = x$

Теперь соберем все члены, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а все постоянные члены — в правой. Для этого вычтем $x$ из обеих частей уравнения и вычтем 9 из обеих частей:

$6x - x = -9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x = -9$

Наконец, чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5:

$x = \frac{-9}{5}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби:

$x = -1.8$

Проверка:

Подставим найденное значение $x = -1.8$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения.

$3(2(-1.8) - 1) + 12 = -1.8$

$3(-3.6 - 1) + 12 = -1.8$

$3(-4.6) + 12 = -1.8$

$-13.8 + 12 = -1.8$

$-1.8 = -1.8$

Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $-1.8$

9 $ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7. $

9

Чтобы решить уравнение $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$, нужно привести дроби в левой части к общему знаменателю.
1. Нахождение общего знаменателя.
Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 4 — это их наименьшее общее кратное (НОК). НОК(3, 4) = 12.
2. Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель.
Это позволит избавиться от дробей. Умножим каждый член уравнения на 12:
$12 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{x}{4}) = 12 \cdot 7$
$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x}{4} = 84$
3. Упрощение уравнения.
Сократим дроби:
$\frac{12}{3}x + \frac{12}{4}x = 84$
$4x + 3x = 84$
4. Решение линейного уравнения.
Сложим подобные слагаемые:
$7x = 84$
Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:
$x = \frac{84}{7}$
$x = 12$
5. Проверка.
Подставим найденное значение $x=12$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:
$\frac{12}{3} + \frac{12}{4} = 4 + 3 = 7$
$7 = 7$
Равенство верно, значит, решение найдено правильно.
Ответ: $x=12$

Решите задачу с помощью уравнения (10–12).

10 К Новому году учащиеся первого и второго классов сделали 150 ёлочных игрушек, причём второклассники сделали на 16 игрушек больше, чем первоклассники. Сколько игрушек сделали перво-классники и второклассники по отдельности?

10

Для решения задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ количество ёлочных игрушек, которое сделали первоклассники.

Из условия известно, что второклассники сделали на 16 игрушек больше. Следовательно, количество игрушек, сделанных второклассниками, можно выразить как $(x + 16)$.

Вместе учащиеся первого и второго классов сделали 150 игрушек. Теперь мы можем составить уравнение, сложив количество игрушек, сделанных каждым классом, и приравняв к общему количеству:

$x + (x + 16) = 150$

Решим это уравнение:

1. Раскроем скобки:

$x + x + 16 = 150$

2. Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2x + 16 = 150$

3. Перенесём число 16 из левой части в правую с противоположным знаком:

$2x = 150 - 16$

$2x = 134$

4. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 134 / 2$

$x = 67$

Таким образом, первоклассники сделали 67 игрушек.

Теперь найдём, сколько игрушек сделали второклассники, подставив найденное значение $x$ в выражение $(x + 16)$:

$67 + 16 = 83$

Второклассники сделали 83 игрушки.

Проверим, соответствует ли решение условиям задачи:

• Всего игрушек: $67 + 83 = 150$ (верно).
• Разница: $83 - 67 = 16$ (второклассники сделали на 16 больше, верно).

Ответ: первоклассники сделали 67 игрушек, а второклассники — 83 игрушки.

11 Купили 165 билетов в театр и цирк, причём билетов в театр в 2 раза больше, чем в цирк. Сколько купили театральных билетов и сколько билетов в цирк?

Для решения этой задачи можно ввести переменную и составить уравнение.

Пусть $x$ — это количество купленных билетов в цирк.

По условию задачи, билетов в театр купили в 2 раза больше, чем в цирк. Значит, количество театральных билетов составляет $2x$.

Общее количество купленных билетов — 165. Сложив количество билетов в цирк и в театр, мы получим общее количество. Составим уравнение:
$x + 2x = 165$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть:
$3x = 165$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (165) разделить на известный множитель (3):
$x = 165 : 3$
$x = 55$

Таким образом, количество билетов в цирк равно 55.

Теперь вычислим количество билетов в театр, зная, что их в 2 раза больше:
$2 \cdot 55 = 110$

Итак, в театр купили 110 билетов.

Выполним проверку: $110$ (билеты в театр) + $55$ (билеты в цирк) = $165$ (всего билетов). Решение верное.

Ответ: купили 110 театральных билетов и 55 билетов в цирк.

12 В седьмых классах школы учатся 48 человек, что составляет 8% всех учащихся школы. Сколько всего учеников в школе?

Для решения этой задачи нам нужно найти общее количество учеников в школе, зная, что 48 учеников составляют 8% от этого общего числа. Пусть $x$ — это общее количество учеников в школе (то есть 100%).

Мы можем составить пропорцию, чтобы связать известную часть (количество учеников в седьмых классах) с общим количеством учеников:

48 учеников — это 8%

$x$ учеников — это 100%

Из этой пропорции получаем следующее уравнение: $ \frac{48}{8} = \frac{x}{100} $

Чтобы найти $x$, выразим его из этого уравнения. Для этого умножим обе части на 100: $ x = \frac{48 \times 100}{8} $

Сначала можно выполнить умножение в числителе: $ x = \frac{4800}{8} $

Теперь выполним деление: $ x = 600 $

Таким образом, в школе всего учатся 600 учеников.

Ответ: 600 учеников.