Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.51 а) Мальчики составляют $\frac{2}{3}$ всех учащихся школы. Сколько в школе учащихся, если в ней учится 456 мальчиков?

б) Масса котёнка 0,6 кг. Она составляет 0,4 массы щенка. Определите массу щенка.

а)

В этой задаче нам нужно найти целое по его части. Известно, что 456 мальчиков составляют $\frac{2}{3}$ от всех учащихся школы.

Пусть $x$ — это общее количество учащихся в школе. Тогда, согласно условию, можем составить уравнение:

$\frac{2}{3} \cdot x = 456$

Чтобы найти $x$, нужно разделить известную часть (количество мальчиков) на долю, которую эта часть составляет от целого:

$x = 456 : \frac{2}{3}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$x = 456 \cdot \frac{3}{2} = \frac{456 \cdot 3}{2} = 228 \cdot 3 = 684$

Таким образом, всего в школе 684 учащихся.

Ответ: 684 учащихся.

б)

Эта задача также на нахождение целого по его части. Нам известна масса котёнка (0,6 кг) и доля, которую она составляет от массы щенка (0,4).

Пусть $m$ — масса щенка в килограммах. Тогда, по условию задачи, масса котёнка равна $0,4$ от массы щенка:

$0,4 \cdot m = 0,6$

Чтобы найти массу щенка $m$, нужно разделить массу котёнка на ту долю, которую она составляет:

$m = 0,6 : 0,4$

Выполним деление десятичных дробей:

$m = \frac{0,6}{0,4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Следовательно, масса щенка составляет 1,5 кг.

Ответ: 1,5 кг.

4.52 a) Ученик прочитал 144 страницы, что составляет 36% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

б) Масса сушёных яблок составляет 16% массы свежих яблок. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 80 кг сушёных?

а)

Данная задача относится к типу нахождения целого по его части, выраженной в процентах. Нам известно, что 144 страницы — это 36% от всей книги. Обозначим общее количество страниц в книге за $x$.

Чтобы решить задачу, можно составить пропорцию. Пусть $x$ страниц — это 100%, а 144 страницы — это 36%.
$x$ страниц — 100%
144 страницы — 36%

Из пропорции получаем уравнение:
$\frac{x}{144} = \frac{100}{36}$

Выразим $x$:
$x = \frac{144 \cdot 100}{36}$

Сократим 144 и 36. Так как $144 : 36 = 4$, получаем:
$x = 4 \cdot 100 = 400$

Другой способ решения — это перевести проценты в десятичную дробь. 36% — это 0,36. Чтобы найти целое число ($x$), нужно известную часть (144) разделить на ее долю (0,36).
$x = 144 : 0,36 = 14400 : 36 = 400$

Таким образом, в книге 400 страниц.

Ответ: 400 страниц.

б)

Эта задача также на нахождение целого по его части. Масса сушёных яблок (80 кг) — это часть от массы свежих яблок. Эта часть составляет 16%. Обозначим искомую массу свежих яблок за $m$.

Составим пропорцию:
$m$ кг свежих яблок — 100%
80 кг сушёных яблок — 16%

Из пропорции следует уравнение:
$\frac{m}{80} = \frac{100}{16}$

Выразим $m$:
$m = \frac{80 \cdot 100}{16}$

Сократим 80 и 16. Так как $80 : 16 = 5$, получаем:
$m = 5 \cdot 100 = 500$

Также можно решить через десятичную дробь. 16% — это 0,16. Чтобы найти общую массу ($m$), нужно массу сушеных яблок (80 кг) разделить на долю, которую она составляет (0,16).
$m = 80 : 0,16 = 8000 : 16 = 500$

Следовательно, чтобы получить 80 кг сушёных яблок, необходимо взять 500 кг свежих.

Ответ: 500 кг.

Решите задачу (4.53–4.55).

4.53 a) Одно число составляет $\frac{4}{5}$ другого числа, а их сумма равна 108. Найдите эти числа.

б) Одно число составляет 45% другого. Найдите эти числа, если одно из них на 66 больше другого.

а)

Пусть второе число равно $x$. Тогда первое число, которое составляет $\frac{4}{5}$ от второго, будет равно $\frac{4}{5}x$.

Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 108. Составим и решим уравнение:

$x + \frac{4}{5}x = 108$

Чтобы сложить $x$ и $\frac{4}{5}x$, представим $x$ как $\frac{5}{5}x$:

$\frac{5}{5}x + \frac{4}{5}x = 108$

$\frac{9}{5}x = 108$

Теперь найдем $x$:

$x = 108 \div \frac{9}{5}$

$x = 108 \cdot \frac{5}{9}$

$x = \frac{108 \cdot 5}{9}$

Сократим 108 и 9. $108 \div 9 = 12$.

$x = 12 \cdot 5$

$x = 60$

Итак, второе число равно 60. Теперь найдем первое число:

$\frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 60 = 4 \cdot \frac{60}{5} = 4 \cdot 12 = 48$

Таким образом, искомые числа — 48 и 60.

Проверка: $48 + 60 = 108$.

Ответ: 48 и 60.

б)

Пусть второе число равно $y$. Первое число составляет 45% от второго. Переведем проценты в десятичную дробь: $45\% = 0,45$. Значит, первое число равно $0,45y$.

Поскольку $0,45 < 1$, то $0,45y$ меньше, чем $y$. В условии сказано, что одно из них на 66 больше другого. Это значит, что большее число ($y$) минус меньшее число ($0,45y$) равно 66.

Составим и решим уравнение:

$y - 0,45y = 66$

$(1 - 0,45)y = 66$

$0,55y = 66$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{66}{0,55}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:

$y = \frac{6600}{55}$

Разделим 6600 на 55:

$y = 120$

Итак, второе (большее) число равно 120. Теперь найдем первое (меньшее) число:

$0,45y = 0,45 \cdot 120 = 54$

Таким образом, искомые числа — 54 и 120.

Проверка: $120 - 54 = 66$.

Ответ: 54 и 120.

4.54 a) Велосипедист за 3 ч проезжает то же расстояние, что пешеход проходит за 9 ч. Определите скорость каждого, если известно, что скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода.

б) Автобус едет от одного города до другого со скоростью 50 км/ч, а автомобиль — со скоростью 80 км/ч, и весь путь занимает у него на 1,5 ч меньше, чем у автобуса. Определите время, за которое автобус проходит расстояние между городами.

а) Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Поскольку скорость велосипедиста на 8 км/ч больше, то его скорость равна $(x + 8)$ км/ч.
Расстояние, которое пешеход проходит за 9 часов, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$ и равно $9x$ км.
Расстояние, которое велосипедист проезжает за 3 часа, равно $3(x + 8)$ км.
По условию задачи, эти расстояния равны. Составим и решим уравнение:
$9x = 3(x + 8)$
$9x = 3x + 24$
$9x - 3x = 24$
$6x = 24$
$x = \frac{24}{6}$
$x = 4$
Таким образом, скорость пешехода составляет 4 км/ч.
Скорость велосипедиста равна $x + 8 = 4 + 8 = 12$ км/ч.
Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч, скорость велосипедиста — 12 км/ч.

б) Пусть время, за которое автобус проезжает расстояние между городами, равно $t$ часов.
Скорость автобуса $v_{авт} = 50$ км/ч, тогда расстояние между городами равно $S = 50t$ км.
Время, которое тратит автомобиль на тот же путь, на 1,5 часа меньше, то есть $(t - 1,5)$ часа.
Скорость автомобиля $v_{авто} = 80$ км/ч, тогда расстояние между городами равно $S = 80(t - 1,5)$ км.
Поскольку расстояние, пройденное автобусом и автомобилем, одинаковое, мы можем приравнять эти два выражения:
$50t = 80(t - 1,5)$
$50t = 80t - 120$
$120 = 80t - 50t$
$120 = 30t$
$t = \frac{120}{30}$
$t = 4$
Следовательно, время, за которое автобус проходит расстояние между городами, составляет 4 часа.
Ответ: 4 часа.

4.55 a) В 12 ящиков можно разложить такое же количество яблок, что и в 18 корзин. Определите, сколько килограммов яблок вмещает ящик и сколько корзина, если известно, что в ящик вмещается на 3 кг яблок больше, чем в корзину.

б) Имеющиеся конфеты разложили в коробки, по 10 штук в каждую, и в пакеты, по 8 штук в каждый. Коробок получилось на 4 меньше, чем пакетов. Определите, сколько получилось коробок, если известно, что во всех коробках вместе упаковано столько же конфет, сколько во всех пакетах.

Решите задачу, составив уравнение двумя способами (4.56–4.57):

1) обозначив буквой какую-нибудь скорость движения;

2) обозначив буквой искомое расстояние.

а)

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ кг яблок вмещает одна корзина. По условию, в ящик вмещается на 3 кг яблок больше, чем в корзину, следовательно, один ящик вмещает $(x + 3)$ кг яблок.

Общее количество яблок, которое можно разложить в 12 ящиков, составляет $12 \cdot (x + 3)$ кг.

Общее количество яблок, которое можно разложить в 18 корзин, составляет $18 \cdot x$ кг.

Так как эти количества равны, мы можем составить следующее уравнение:

$12(x + 3) = 18x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$12x + 36 = 18x$

Перенесём слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну сторону, а числа — в другую:

$36 = 18x - 12x$

$36 = 6x$

Теперь найдём $x$:

$x = \frac{36}{6}$

$x = 6$

Таким образом, одна корзина вмещает 6 кг яблок.

Теперь определим, сколько килограммов яблок вмещает ящик:

$x + 3 = 6 + 3 = 9$ кг.

Ответ: ящик вмещает 9 кг яблок, а корзина — 6 кг яблок.

б)

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество получившихся коробок. Согласно условию, коробок получилось на 4 меньше, чем пакетов, значит, количество пакетов равно $(x + 4)$.

В каждую коробку положили 10 конфет, значит, общее количество конфет во всех коробках равно $10x$.

В каждый пакет положили 8 конфет, значит, общее количество конфет во всех пакетах равно $8(x + 4)$.

Поскольку общее количество конфет в коробках и в пакетах одинаково, мы можем составить уравнение:

$10x = 8(x + 4)$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$10x = 8x + 32$

Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$10x - 8x = 32$

$2x = 32$

Найдём $x$:

$x = \frac{32}{2}$

$x = 16$

Следовательно, получилось 16 коробок.

Ответ: получилось 16 коробок.

4.56 От города до посёлка мотоциклист доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2 ч. Чему равно расстояние от города до посёлка?

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста, а $S$ (км) — искомое расстояние от города до посёлка.

По основному условию, мотоциклист проехал расстояние $S$ за время $t_1 = 3$ ч. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:
$S = v \cdot 3$

По второму условию, если бы скорость мотоциклиста была на 25 км/ч больше, то есть $v_2 = v + 25$ км/ч, он проехал бы то же расстояние $S$ за время $t_2 = 2$ ч. Получаем второе уравнение:
$S = (v + 25) \cdot 2$

Так как расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:
$3v = 2(v + 25)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти первоначальную скорость $v$:
$3v = 2v + 50$
$3v - 2v = 50$
$v = 50$
Таким образом, первоначальная скорость мотоциклиста была 50 км/ч.

Чтобы найти расстояние от города до посёлка, подставим найденное значение скорости $v = 50$ км/ч в любое из двух первоначальных выражений для $S$. Воспользуемся первым:
$S = 3 \cdot v = 3 \cdot 50 = 150$ км.

Ответ: 150 км.

4.57 От станции до озера турист доехал на велосипеде за 2 ч. Пешком он мог бы пройти это расстояние за 6 ч. Чему равно расстояние от станции до озера, если на велосипеде турист едет со скоростью, на $10 \text{ км/ч}$ большей, чем идёт пешком?

Решите задачу, составив уравнение двумя способами (4.58–4.59):

1) обозначив буквой искомое расстояние;

2) обозначив буквой время движения в каком-либо направлении.

1) обозначив буквой искомое расстояние;

Пусть искомое расстояние от станции до озера равно $x$ км.

Время, которое турист ехал на велосипеде, составляет 2 часа. Следовательно, его скорость на велосипеде равна $v_{вело} = \frac{S}{t} = \frac{x}{2}$ км/ч.

Время, которое турист шёл бы пешком, составляет 6 часов. Следовательно, его скорость пешком равна $v_{пеш} = \frac{S}{t} = \frac{x}{6}$ км/ч.

По условию задачи, скорость на велосипеде на 10 км/ч больше, чем скорость пешком. На основе этого составим уравнение:

$v_{вело} = v_{пеш} + 10$

$\frac{x}{2} = \frac{x}{6} + 10$

Для решения уравнения избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2 и 6, то есть на 6:

$6 \cdot \left(\frac{x}{2}\right) = 6 \cdot \left(\frac{x}{6}\right) + 6 \cdot 10$

$3x = x + 60$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$3x - x = 60$

$2x = 60$

$x = \frac{60}{2}$

$x = 30$

Таким образом, искомое расстояние равно 30 км.

Ответ: 30 км.

2) обозначив буквой время движения в каком-либо направлении;

В этом способе в качестве неизвестной величины выберем скорость туриста. Пусть скорость туриста пешком равна $x$ км/ч.

Согласно условию, скорость туриста на велосипеде на 10 км/ч больше, значит, она равна $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние от станции до озера можно вычислить по формуле $S = v \cdot t$. Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять выражения для расстояния, вычисленные для движения пешком и на велосипеде.

Расстояние, которое турист прошел бы пешком за 6 часов: $S = x \cdot 6 = 6x$ км.

Расстояние, которое турист проехал на велосипеде за 2 часа: $S = (x + 10) \cdot 2$ км.

Приравняем два выражения для расстояния:

$6x = 2(x + 10)$

Решим полученное уравнение:

$6x = 2x + 20$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$6x - 2x = 20$

$4x = 20$

$x = \frac{20}{4}$

$x = 5$

Мы нашли скорость туриста пешком, она равна 5 км/ч. Теперь найдем расстояние от станции до озера, подставив значение $x$ в одно из выражений для $S$:

$S = 6x = 6 \cdot 5 = 30$ км.

Ответ: 30 км.