Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Корнями какого уравнения являются числа 2 и -1?

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$

3) $x^2 - x - 2 = 0$

4) $x^2 + x - 2 = 0$

Чтобы определить, корнями какого уравнения являются числа $2$ и $-1$, можно составить квадратное уравнение по его корням, используя теорему, обратную теореме Виета, а затем сравнить результат с предложенными вариантами. Также можно последовательно подставить числа $2$ и $-1$ в каждое из уравнений и проверить, выполняется ли равенство.

Способ 1: Использование теоремы, обратной теореме Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Найдем сумму и произведение заданных корней $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$:

Сумма корней: $S = 2 + (-1) = 1$.

Произведение корней: $P = 2 \cdot (-1) = -2$.

Теперь найдем коэффициенты $p$ и $q$ для нашего уравнения:

$-p = S \implies -p = 1 \implies p = -1$.

$q = P \implies q = -2$.

Подставив найденные коэффициенты, получаем искомое уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Это уравнение соответствует варианту ответа под номером 3.

Способ 2: Проверка каждого варианта подстановкой.

Для того чтобы число являлось корнем уравнения, при его подстановке вместо переменной должно получиться верное числовое равенство.

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Равенство верно.
Подставляем $x=-1$: $(-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$. Равенство $6 = 0$ неверно.
Этот вариант не подходит, так как $-1$ не является корнем.

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 + 3 \cdot 2 + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$. Равенство $12 = 0$ неверно.
Этот вариант не подходит, так как $2$ не является корнем.

3) $x^2 - x - 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$. Равенство верно.
Подставляем $x=-1$: $(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Равенство верно.
Этот вариант подходит, так как оба числа, $2$ и $-1$, являются корнями уравнения.

4) $x^2 + x - 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4$. Равенство $4 = 0$ неверно.
Этот вариант не подходит, так как $2$ не является корнем.

Оба способа решения приводят к одному и тому же выводу: искомым является уравнение под номером 3.

Ответ: 3

2 Соотнесите каждое уравнение с числом его корней.

А) $x^2 = 4$

Б) $2x - (x - 3) = 0$

В) $|x| + 4 = 0

1) один корень

2) два корня

3) нет корней

А) Решим уравнение $x^2 = 4$.

Это квадратное уравнение. Чтобы найти значения $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.

$x = \sqrt{4}$ или $x = -\sqrt{4}$

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Таким образом, данное уравнение имеет два корня. Это соответствует варианту 2) два корня.

Ответ: 2

Б) Решим уравнение $2x - (x - 3) = 0$.

Это линейное уравнение. Сначала упростим его, раскрыв скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$2x - x + 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$x + 3 = 0$

Теперь перенесем свободный член (число 3) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x = -3$

Уравнение имеет ровно один корень. Это соответствует варианту 1) один корень.

Ответ: 1

В) Решим уравнение $|x| + 4 = 0$.

Это уравнение с модулем. Выразим модуль $x$ из уравнения:

$|x| = -4$

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа есть расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой, и поэтому он всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$.

Уравнение $|x| = -4$ утверждает, что неотрицательная величина равна отрицательному числу, что невозможно. Следовательно, у этого уравнения нет решений.

Это соответствует варианту 3) нет корней.

Ответ: 3

3 Решите уравнение $15 - x = 2(x - 30)$.

Дано линейное уравнение: $15 - x = 2(x - 30)$.

Для его решения сначала раскроем скобки в правой части уравнения. Для этого умножим число 2 на каждый член внутри скобок:

$15 - x = 2 \cdot x - 2 \cdot 30$

$15 - x = 2x - 60$

Теперь необходимо собрать все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $-x$ из левой части в правую (при этом знак изменится на "+") и $-60$ из правой части в левую (знак также изменится на "+"):

$15 + 60 = 2x + x$

Выполним сложение в обеих частях уравнения:

$75 = 3x$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{75}{3}$

$x = 25$

Для проверки подставим найденное значение $x = 25$ в исходное уравнение:

$15 - 25 = 2(25 - 30)$

$-10 = 2(-5)$

$-10 = -10$

Так как получилось верное равенство, решение найдено правильно.

Ответ: $25$

4. Решите уравнение $5(2x - 1) - 4(3x + 1) = 2$.

Для того чтобы решить уравнение $5(2x - 1) - 4(3x + 1) = 2$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Раскрыть скобки. Для этого умножим число перед каждой скобкой на каждый член внутри нее, обращая внимание на знак перед множителем:

$5 \cdot 2x + 5 \cdot (-1) - 4 \cdot 3x - 4 \cdot 1 = 2$

Выполним вычисления:

$10x - 5 - 12x - 4 = 2$

2. Привести подобные слагаемые в левой части уравнения. Сгруппируем и сложим члены с переменной $x$ и свободные члены (числа):

$(10x - 12x) + (-5 - 4) = 2$

$-2x - 9 = 2$

3. Изолировать член с переменной $x$. Для этого перенесем свободный член $-9$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$-2x = 2 + 9$

$-2x = 11$

4. Найти значение $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2$:

$x = \frac{11}{-2}$

$x = -5.5$

Ответ: $-5.5$

5 Каким числом является корень уравнения $\frac{x}{5} - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$?

1) целым положительным

2) целым отрицательным

3) дробным положительным

4) дробным отрицательным

Для того чтобы определить, каким числом является корень уравнения, необходимо сначала решить это уравнение.

Дано уравнение: $\frac{x}{5} - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5, 2 и 4. НОК(5, 2, 4) = 20.

$20 \cdot \left(\frac{x}{5} - \frac{1}{2}\right) = 20 \cdot \frac{x}{4}$

Применяем распределительный закон умножения:

$\frac{20 \cdot x}{5} - \frac{20 \cdot 1}{2} = \frac{20 \cdot x}{4}$

Выполняем сокращение дробей:

$4x - 10 = 5x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной x в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Для этого вычтем $4x$ из обеих частей:

$-10 = 5x - 4x$

$-10 = x$

Мы нашли корень уравнения: $x = -10$.

Теперь проанализируем полученное число. Число -10 является:

• Целым (не является дробным в смысле нецелого рационального числа).
• Отрицательным.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы приходим к выводу, что корень уравнения является целым отрицательным числом.

Ответ: 2) целым отрицательным

6 Прочитайте задачу: «В три коробки надо разложить 65 мячей так, чтобы в первой было мячей в 3 раза больше, чем во второй, а в третьей – на 5 мячей меньше, чем в первой. Сколько мячей должно быть в каждой коробке?»

Число мячей во второй коробке обозначено буквой $x$. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) $3x + x + (3x + 5) = 65$

2) $3x + x + (x - 5) = 65$

3) $(x + 3) + x + (x - 5) = 65$

4) $3x + x + (3x - 5) = 65$

Какое уравнение соответствует условию задачи?

Для того чтобы составить уравнение, проанализируем условие задачи.

1. Обозначим количество мячей во второй коробке за $x$, как предложено в задании.

2. В первой коробке мячей в 3 раза больше, чем во второй. Значит, количество мячей в первой коробке можно выразить как $3x$.

3. В третьей коробке на 5 мячей меньше, чем в первой. Так как в первой коробке $3x$ мячей, то в третьей будет $(3x - 5)$ мячей.

4. Общее количество мячей во всех трех коробках равно 65. Чтобы найти общее количество, нужно сложить мячи из всех коробок:

(мячи в 1-й коробке) + (мячи во 2-й коробке) + (мячи в 3-й коробке) = 65

Подставим полученные выражения в это равенство:

$3x + x + (3x - 5) = 65$

Сравнив полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4) $3x + x + (3x - 5) = 65$

Сколько мячей должно быть в каждой коробке?

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти конкретное количество мячей.

$3x + x + (3x - 5) = 65$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + x + 3x - 5 = 65$

$(3 + 1 + 3)x - 5 = 65$

$7x - 5 = 65$

Перенесем -5 в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$7x = 65 + 5$

$7x = 70$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{70}{7}$

$x = 10$

Итак, мы нашли количество мячей во второй коробке. Теперь определим количество мячей в первой и третьей коробках:

- Во второй коробке: $x = 10$ мячей.

- В первой коробке: $3x = 3 \cdot 10 = 30$ мячей.

- В третьей коробке: $3x - 5 = 3 \cdot 10 - 5 = 30 - 5 = 25$ мячей.

Проверка: $30 + 10 + 25 = 65$. Условие задачи выполнено.

Ответ: в первой коробке 30 мячей, во второй — 10 мячей, в третьей — 25 мячей.

7 Во втором баке было в 2 раза больше воды, чем в первом. Когда в первый бак долили 20 л воды, а из второго отлили 15 л воды, то воды в баках стало поровну. Сколько воды было в каждом баке первоначально?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ литров — это количество воды, которое было в первом баке первоначально.

Согласно условию, во втором баке было в 2 раза больше воды, чем в первом. Следовательно, во втором баке было $2x$ литров воды.

Когда в первый бак долили 20 литров воды, в нем стало $(x + 20)$ литров.

Когда из второго бака отлили 15 литров воды, в нем стало $(2x - 15)$ литров.

После этих изменений количество воды в баках стало равным. Мы можем составить и решить следующее уравнение, приравняв количество воды в баках:

$x + 20 = 2x - 15$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую, чтобы найти значение $x$:

$20 + 15 = 2x - x$

Выполним сложение и вычитание:

$35 = x$

Таким образом, мы нашли, что первоначально в первом баке было 35 литров воды.

Теперь найдем, сколько воды было во втором баке. Для этого умножим количество воды в первом баке на 2:

$2x = 2 \cdot 35 = 70$ литров.

Проверим полученные результаты. Изначально в баках было 35 л и 70 л. После изменений в первом баке стало $35 + 20 = 55$ л, а во втором $70 - 15 = 55$ л. Количество воды сравнялось, следовательно, задача решена верно.

Ответ: первоначально в первом баке было 35 литров воды, а во втором — 70 литров.

8 За игрушку в подарочной упаковке заплатили 324 р. Стоимость упаковки составила 8% от стоимости игрушки. Сколько стоит игрушка?

Пусть $x$ — стоимость игрушки в рублях.

Согласно условию, стоимость упаковки составляет 8% от стоимости игрушки. Чтобы найти 8% от числа, нужно умножить это число на 0,08. Таким образом, стоимость упаковки равна $0.08x$ рублей.

Общая стоимость покупки — это сумма стоимости игрушки и стоимости упаковки. По условию задачи, она равна 324 рубля. Составим и решим уравнение:

$x + 0.08x = 324$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$1.08x = 324$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 1,08:

$x = \frac{324}{1.08}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель дроби на 100:

$x = \frac{32400}{108}$

Выполнив деление, получаем:

$x = 300$

Следовательно, стоимость игрушки составляет 300 рублей.

Ответ: 300 рублей.

9 В какое уравнение нельзя преобразовать уравнение

$16x = 12(x-3)$?

1) $8x = 6(x-3)$

2) $16x = 12x - 36$

3) $4x = 3x - 3$

4) $3(x-3) = 4x$

Для решения этой задачи необходимо проверить, можно ли получить каждое из предложенных уравнений из исходного уравнения $16x = 12(x-3)$ с помощью тождественных (эквивалентных) преобразований. Тождественные преобразования сохраняют множество корней уравнения.

Сначала найдем корень исходного уравнения, чтобы в дальнейшем сравнивать с ним корни других уравнений.$16x = 12(x-3)$Раскроем скобки в правой части:$16x = 12x - 36$Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:$16x - 12x = -36$$4x = -36$Разделим обе части на 4:$x = -9$Корень исходного уравнения равен -9. Теперь проанализируем каждый вариант.

1) $8x = 6(x-3)$

Данное уравнение можно получить из исходного $16x = 12(x-3)$, разделив обе его части на 2:$\frac{16x}{2} = \frac{12(x-3)}{2}$$8x = 6(x-3)$Поскольку мы выполнили эквивалентное преобразование (деление на число, не равное нулю), это уравнение эквивалентно исходному. Его корень также будет $x = -9$.Проверим: $8x = 6x - 18 \implies 2x = -18 \implies x = -9$.

Ответ: можно преобразовать.

2) $16x = 12x - 36$

Это уравнение получается из исходного $16x = 12(x-3)$ путем раскрытия скобок в правой части (применение распределительного закона умножения):$12 \cdot (x-3) = 12 \cdot x - 12 \cdot 3 = 12x - 36$Это тождественное преобразование, поэтому уравнение эквивалентно исходному. Мы уже использовали его при нахождении корня.

Ответ: можно преобразовать.

3) $4x = 3x - 3$

Попробуем преобразовать исходное уравнение $16x = 12(x-3)$. Если разделить обе части на 4, получим:$\frac{16x}{4} = \frac{12(x-3)}{4}$$4x = 3(x-3)$Раскроем скобки в полученном уравнении:$4x = 3x - 9$Полученное уравнение $4x = 3x - 9$ не совпадает с предложенным уравнением $4x = 3x - 3$.Найдем корень уравнения из варианта 3:$4x = 3x - 3$$4x - 3x = -3$$x = -3$Корень этого уравнения ($x = -3$) не совпадает с корнем исходного уравнения ($x = -9$). Следовательно, эти уравнения не являются эквивалентными, и преобразовать одно в другое нельзя.

Ответ: нельзя преобразовать.

4) $3(x-3) = 4x$

Как мы показали в пункте 3, если разделить обе части исходного уравнения $16x = 12(x-3)$ на 4, мы получим уравнение $4x = 3(x-3)$. Если в этом уравнении поменять местами левую и правую части (что является тождественным преобразованием), мы получим в точности уравнение $3(x-3) = 4x$. Следовательно, это преобразование возможно.

Ответ: можно преобразовать.

Таким образом, единственное уравнение, в которое нельзя преобразовать исходное, — это уравнение под номером 3.

10 Дано уравнение $ax=3$, где $a$ – некоторое число, $x$ – переменная. Найдите $a$, если известно, что корень уравнения равен $\frac{2}{3}$.

По условию задачи дано уравнение $ax = 3$. Корень уравнения — это значение переменной $x$, при котором уравнение становится верным числовым равенством. Нам известно, что корень данного уравнения равен $x = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти неизвестный коэффициент $a$, подставим значение корня $x = \frac{2}{3}$ в исходное уравнение:

$a \cdot \frac{2}{3} = 3$

Теперь мы получили уравнение относительно $a$. Чтобы найти $a$, необходимо разделить обе части уравнения на множитель $\frac{2}{3}$.

$a = 3 \div \frac{2}{3}$

Разделить число на дробь — это то же самое, что умножить это число на дробь, обратную делителю. Обратной к дроби $\frac{2}{3}$ является дробь $\frac{3}{2}$.

$a = 3 \cdot \frac{3}{2}$

Выполним умножение:

$a = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2}$

Полученное значение $a$ можно также представить в виде десятичной дроби $4.5$ или смешанного числа $4\frac{1}{2}$.

Ответ: $a = \frac{9}{2}$