Номер 9, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9 В какое уравнение нельзя преобразовать уравнение

$16x = 12(x-3)$?

1) $8x = 6(x-3)$

2) $16x = 12x - 36$

3) $4x = 3x - 3$

4) $3(x-3) = 4x$

Для решения этой задачи необходимо проверить, можно ли получить каждое из предложенных уравнений из исходного уравнения $16x = 12(x-3)$ с помощью тождественных (эквивалентных) преобразований. Тождественные преобразования сохраняют множество корней уравнения.

Сначала найдем корень исходного уравнения, чтобы в дальнейшем сравнивать с ним корни других уравнений.$16x = 12(x-3)$Раскроем скобки в правой части:$16x = 12x - 36$Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:$16x - 12x = -36$$4x = -36$Разделим обе части на 4:$x = -9$Корень исходного уравнения равен -9. Теперь проанализируем каждый вариант.

1) $8x = 6(x-3)$

Данное уравнение можно получить из исходного $16x = 12(x-3)$, разделив обе его части на 2:$\frac{16x}{2} = \frac{12(x-3)}{2}$$8x = 6(x-3)$Поскольку мы выполнили эквивалентное преобразование (деление на число, не равное нулю), это уравнение эквивалентно исходному. Его корень также будет $x = -9$.Проверим: $8x = 6x - 18 \implies 2x = -18 \implies x = -9$.

Ответ: можно преобразовать.

2) $16x = 12x - 36$

Это уравнение получается из исходного $16x = 12(x-3)$ путем раскрытия скобок в правой части (применение распределительного закона умножения):$12 \cdot (x-3) = 12 \cdot x - 12 \cdot 3 = 12x - 36$Это тождественное преобразование, поэтому уравнение эквивалентно исходному. Мы уже использовали его при нахождении корня.

Ответ: можно преобразовать.

3) $4x = 3x - 3$

Попробуем преобразовать исходное уравнение $16x = 12(x-3)$. Если разделить обе части на 4, получим:$\frac{16x}{4} = \frac{12(x-3)}{4}$$4x = 3(x-3)$Раскроем скобки в полученном уравнении:$4x = 3x - 9$Полученное уравнение $4x = 3x - 9$ не совпадает с предложенным уравнением $4x = 3x - 3$.Найдем корень уравнения из варианта 3:$4x = 3x - 3$$4x - 3x = -3$$x = -3$Корень этого уравнения ($x = -3$) не совпадает с корнем исходного уравнения ($x = -9$). Следовательно, эти уравнения не являются эквивалентными, и преобразовать одно в другое нельзя.

Ответ: нельзя преобразовать.

4) $3(x-3) = 4x$

Как мы показали в пункте 3, если разделить обе части исходного уравнения $16x = 12(x-3)$ на 4, мы получим уравнение $4x = 3(x-3)$. Если в этом уравнении поменять местами левую и правую части (что является тождественным преобразованием), мы получим в точности уравнение $3(x-3) = 4x$. Следовательно, это преобразование возможно.

Ответ: можно преобразовать.

Таким образом, единственное уравнение, в которое нельзя преобразовать исходное, — это уравнение под номером 3.