Номер 1, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 5.1. Множества точек на координатной прямой. Глава 5. Координаты и графики - номер 1, страница 113.

Условие.

Чем различаются изображения и алгебраическая запись отрезка и интервала; открытого луча и замкнутого луча? Проиллюстрируйте свои ответы примерами.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Различия между отрезком и интервалом

Основное различие между отрезком и интервалом заключается во включении или невключении их граничных точек.

Отрезок — это множество всех точек числовой прямой, заключенных между двумя данными точками, включая сами эти точки (концы отрезка).

• Изображение на числовой прямой: концы отрезка обозначаются закрашенными (сплошными) точками.
• Алгебраическая запись:
  • В виде двойного неравенства используются знаки «меньше или равно» ($ \le $) или «больше или равно» ($ \ge $).
  • При записи в виде числового промежутка используются квадратные скобки `[ ]`.

Пример: Отрезок от -3 до 2.

• Алгебраическая запись: $ -3 \le x \le 2 $ или $x \in [-3, 2]$.
• Изображение: на числовой прямой отмечаются точки -3 и 2 закрашенными кружками, а область между ними штрихуется.

Интервал — это множество всех точек числовой прямой, заключенных между двумя данными точками, но не включая сами эти точки.

• Изображение на числовой прямой: концы интервала обозначаются выколотыми (пустыми) точками.
• Алгебраическая запись:
  • В виде двойного неравенства используются знаки «меньше» ($ < $) или «больше» ($ > $).
  • При записи в виде числового промежутка используются круглые скобки `( )`.

Пример: Интервал от -3 до 2.

• Алгебраическая запись: $ -3 < x < 2 $ или $x \in (-3, 2)$.
• Изображение: на числовой прямой отмечаются точки -3 и 2 пустыми кружками, а область между ними штрихуется.

Ответ: Отрезок включает свои концы, что на графике обозначается закрашенными точками, а в записи — квадратными скобками и нестрогими неравенствами ($ \le, \ge $). Интервал не включает свои концы, что на графике обозначается выколотыми точками, а в записи — круглыми скобками и строгими неравенствами ($ <, > $).

---

Различия между открытым лучом и замкнутым лучом

Различие между открытым и замкнутым лучом заключается во включении или невключении его начальной точки.

Замкнутый луч (или просто луч) — это часть прямой, которая начинается в определенной точке и продолжается бесконечно в одном направлении, включая начальную точку.

• Изображение на числовой прямой: начальная точка луча обозначается закрашенной (сплошной) точкой.
• Алгебраическая запись:
  • В виде неравенства используются знаки $ \le $ или $ \ge $.
  • При записи в виде числового промежутка используется квадратная скобка `[` или `]` для начальной точки.

Пример: Луч, начинающийся в точке 5 и идущий в сторону увеличения чисел.

• Алгебраическая запись: $ x \ge 5 $ или $x \in [5, +\infty)$.
• Изображение: на числовой прямой точка 5 отмечается закрашенным кружком, и от нее вправо до бесконечности проводится штриховка.

Открытый луч — это часть прямой, которая начинается в определенной точке и продолжается бесконечно в одном направлении, не включая начальную точку.

• Изображение на числовой прямой: начальная точка луча обозначается выколотой (пустой) точкой.
• Алгебраическая запись:
  • В виде неравенства используются знаки $ < $ или $ > $.
  • При записи в виде числового промежутка используется круглая скобка `(` или `)` для начальной точки.

Пример: Открытый луч, начинающийся в точке 5 и идущий в сторону увеличения чисел.

• Алгебраическая запись: $ x > 5 $ или $x \in (5, +\infty)$.
• Изображение: на числовой прямой точка 5 отмечается пустым кружком, и от нее вправо до бесконечности проводится штриховка.

Ответ: Замкнутый луч включает свою начальную точку, что на графике обозначается закрашенной точкой, а в записи — квадратной скобкой и нестрогим неравенством ($ \ge, \le $). Открытый луч не включает свою начальную точку, что на графике обозначается выколотой точкой, а в записи — круглой скобкой и строгим неравенством ($ >, < $).