Страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Чем различаются изображения и алгебраическая запись отрезка и интервала; открытого луча и замкнутого луча? Проиллюстрируйте свои ответы примерами.

Различия между отрезком и интервалом

Основное различие между отрезком и интервалом заключается во включении или невключении их граничных точек.

Отрезок — это множество всех точек числовой прямой, заключенных между двумя данными точками, включая сами эти точки (концы отрезка).

• Изображение на числовой прямой: концы отрезка обозначаются закрашенными (сплошными) точками.
• Алгебраическая запись:
  • В виде двойного неравенства используются знаки «меньше или равно» ($ \le $) или «больше или равно» ($ \ge $).
  • При записи в виде числового промежутка используются квадратные скобки `[ ]`.

Пример: Отрезок от -3 до 2.

• Алгебраическая запись: $ -3 \le x \le 2 $ или $x \in [-3, 2]$.
• Изображение: на числовой прямой отмечаются точки -3 и 2 закрашенными кружками, а область между ними штрихуется.

Интервал — это множество всех точек числовой прямой, заключенных между двумя данными точками, но не включая сами эти точки.

• Изображение на числовой прямой: концы интервала обозначаются выколотыми (пустыми) точками.
• Алгебраическая запись:
  • В виде двойного неравенства используются знаки «меньше» ($ < $) или «больше» ($ > $).
  • При записи в виде числового промежутка используются круглые скобки `( )`.

Пример: Интервал от -3 до 2.

• Алгебраическая запись: $ -3 < x < 2 $ или $x \in (-3, 2)$.
• Изображение: на числовой прямой отмечаются точки -3 и 2 пустыми кружками, а область между ними штрихуется.

Ответ: Отрезок включает свои концы, что на графике обозначается закрашенными точками, а в записи — квадратными скобками и нестрогими неравенствами ($ \le, \ge $). Интервал не включает свои концы, что на графике обозначается выколотыми точками, а в записи — круглыми скобками и строгими неравенствами ($ <, > $).

Различия между открытым лучом и замкнутым лучом

Различие между открытым и замкнутым лучом заключается во включении или невключении его начальной точки.

Замкнутый луч (или просто луч) — это часть прямой, которая начинается в определенной точке и продолжается бесконечно в одном направлении, включая начальную точку.

• Изображение на числовой прямой: начальная точка луча обозначается закрашенной (сплошной) точкой.
• Алгебраическая запись:
  • В виде неравенства используются знаки $ \le $ или $ \ge $.
  • При записи в виде числового промежутка используется квадратная скобка `[` или `]` для начальной точки.

Пример: Луч, начинающийся в точке 5 и идущий в сторону увеличения чисел.

• Алгебраическая запись: $ x \ge 5 $ или $x \in [5, +\infty)$.
• Изображение: на числовой прямой точка 5 отмечается закрашенным кружком, и от нее вправо до бесконечности проводится штриховка.

Открытый луч — это часть прямой, которая начинается в определенной точке и продолжается бесконечно в одном направлении, не включая начальную точку.

• Изображение на числовой прямой: начальная точка луча обозначается выколотой (пустой) точкой.
• Алгебраическая запись:
  • В виде неравенства используются знаки $ < $ или $ > $.
  • При записи в виде числового промежутка используется круглая скобка `(` или `)` для начальной точки.

Пример: Открытый луч, начинающийся в точке 5 и идущий в сторону увеличения чисел.

• Алгебраическая запись: $ x > 5 $ или $x \in (5, +\infty)$.
• Изображение: на числовой прямой точка 5 отмечается пустым кружком, и от нее вправо до бесконечности проводится штриховка.

Ответ: Замкнутый луч включает свою начальную точку, что на графике обозначается закрашенной точкой, а в записи — квадратной скобкой и нестрогим неравенством ($ \ge, \le $). Открытый луч не включает свою начальную точку, что на графике обозначается выколотой точкой, а в записи — круглой скобкой и строгим неравенством ($ >, < $).

Для каждого изображения числового промежутка укажите соответствующее ему неравенство или двойное неравенство.

А) Б) В) Г) 1) $x \ge 2$

2) $2 < x < 5$

3) $x > 2$

4) $x < 5$

5) $2 \le x \le 5$

6) $x \le 5$

А) На этом изображении показан числовой отрезок, который включает в себя числа от 2 до 5. Точки на концах отрезка (2 и 5) закрашены, что означает, что сами эти числа входят в промежуток. Такой промежуток описывается двойным нестрогим неравенством, где переменная $x$ больше или равна 2 и меньше или равна 5. Математически это записывается как $2 \le x \le 5$. Это соответствует варианту 5.
Ответ: 5

Б) Здесь изображен числовой луч, начинающийся в точке 2 и уходящий вправо (в сторону положительной бесконечности). Точка 2 "выколота" (изображена пустым кружком), что означает, что число 2 не входит в промежуток. Следовательно, нас интересуют все числа, которые строго больше 2. Это описывается строгим неравенством $x > 2$. Это соответствует варианту 3.
Ответ: 3

В) На этом изображении показан числовой луч, который начинается из отрицательной бесконечности и заканчивается в точке 5. Точка 5 закрашена, значит, она включена в промежуток. Это означает, что нас интересуют все числа, которые меньше или равны 5. Такое условие записывается как нестрогое неравенство $x \le 5$. Это соответствует варианту 6.
Ответ: 6

Г) Здесь мы видим числовой интервал между 2 и 5. Обе точки, 2 и 5, "выколоты", что говорит о том, что они не принадлежат данному промежутку. Это означает, что переменная $x$ должна быть строго больше 2 и строго меньше 5. Такое условие записывается в виде двойного строгого неравенства $2 < x < 5$. Это соответствует варианту 2.
Ответ: 2

5.1 Изобразите на координатной прямой множество точек, заданное неравенством:

а) $x > 6$;

б) $x \le 6$;

в) $x \ge -2$;

г) $x < 7$.

Как называется каждое из этих множеств?

а) $x > 6$

Неравенство $x > 6$ задает множество всех чисел, которые строго больше 6. На координатной прямой это множество изображается следующим образом: отмечаем точку 6, которая не принадлежит множеству (поэтому точка изображается "выколотой", то есть пустым кружком), и заштриховываем всю часть прямой, расположенную правее этой точки.
Схематическое изображение на координатной прямой:

Это множество называется открытым лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $(6; +\infty)$.

Ответ: множество точек $x > 6$ — это открытый луч.

б) $x \le 6$

Неравенство $x \le 6$ задает множество всех чисел, которые меньше или равны 6. На координатной прямой это множество изображается так: отмечаем точку 6, которая принадлежит множеству (поэтому точка изображается "закрашенной"), и заштриховываем всю часть прямой, расположенную левее этой точки, включая саму точку.
Схематическое изображение на координатной прямой:

Это множество называется лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $(-\infty; 6]$.

Ответ: множество точек $x \le 6$ — это луч.

в) $x \ge -2$

Неравенство $x \ge -2$ задает множество всех чисел, которые больше или равны -2. На координатной прямой это множество изображается так: отмечаем точку -2, которая принадлежит множеству (закрашенная точка), и заштриховываем всю часть прямой, расположенную правее этой точки, включая саму точку.
Схематическое изображение на координатной прямой:

Это множество называется лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $[-2; +\infty)$.

Ответ: множество точек $x \ge -2$ — это луч.

г) $x < 7$

Неравенство $x < 7$ задает множество всех чисел, которые строго меньше 7. На координатной прямой это множество изображается следующим образом: отмечаем точку 7, которая не принадлежит множеству (выколотая точка), и заштриховываем всю часть прямой, расположенную левее этой точки.
Схематическое изображение на координатной прямой:

Это множество называется открытым лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $(-\infty; 7)$.

Ответ: множество точек $x < 7$ — это открытый луч.

5.2 Изобразите на координатной прямой множество всех точек:

а) с отрицательными координатами;

б) с неотрицательными координатами.

Задайте каждое из этих множеств с помощью неравенства.

а) с отрицательными координатами;
Множество точек с отрицательными координатами включает в себя все числа, которые строго меньше нуля.
На координатной прямой это множество представляет собой открытый числовой луч, который начинается в точке с координатой 0 и направлен влево (в сторону уменьшения чисел). Сама точка 0 не входит в это множество, поэтому на прямой она отмечается выколотой (пустой) точкой. Штриховкой выделяется вся часть прямой слева от нуля.
Это множество задается строгим неравенством. Пусть $x$ — координата точки на прямой. Тогда условие того, что координата отрицательна, записывается так:
$x < 0$
Ответ: Множество изображается на координатной прямой как открытый луч, соответствующий интервалу $(-\infty; 0)$. Неравенство, задающее это множество: $x < 0$.

б) с неотрицательными координатами.
Множество точек с неотрицательными координатами включает в себя нуль и все положительные числа. То есть это все числа, которые больше или равны нулю.
На координатной прямой это множество представляет собой числовой луч, который начинается в точке с координатой 0 и направлен вправо (в сторону увеличения чисел). Сама точка 0 входит в это множество, поэтому на прямой она отмечается закрашенной (сплошной) точкой. Штриховкой выделяется точка 0 и вся часть прямой справа от нее.
Это множество задается нестрогим неравенством. Пусть $x$ — координата точки на прямой. Тогда условие того, что координата неотрицательна, записывается так:
$x \ge 0$
Ответ: Множество изображается на координатной прямой как луч, соответствующий промежутку $[0; +\infty)$. Неравенство, задающее это множество: $x \ge 0$.