Страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.12 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ На рисунке 5.9, а, б изображены числовые промежутки, которые называют полуинтервалами. Запишите соответствующие им неравенства.

а) $ -5 < x \le 3 $

б) $ -2 \le x < 7.5 $

Рис. 5.9

Чтобы записать неравенства, соответствующие изображенным на числовой оси полуинтервалам, необходимо обратить внимание на тип точек, которыми обозначены концы промежутков. Выколотая (пустая) точка означает, что число не входит в промежуток (используется строгий знак неравенства $<$ или $>$). Закрашенная (сплошная) точка означает, что число входит в промежуток (используется нестрогий знак неравенства $\le$ или $\ge$).

а)

На рисунке а) изображен числовой промежуток, ограниченный числами -5 и 3. Точка -5 изображена выколотой, что означает, что переменная (обозначим ее как $x$) должна быть строго больше -5. Это записывается как $x > -5$. Точка 3 изображена закрашенной, что означает, что переменная $x$ может быть равна 3 или меньше этого числа. Это записывается как $x \le 3$. Объединяя эти два условия в одно двойное неравенство, получаем искомое выражение.

Ответ: $-5 < x \le 3$

б)

На рисунке б) изображен числовой промежуток между числами -2 и 7,5. Точка -2 изображена закрашенной, следовательно, переменная $x$ больше или равна -2. Это записывается как $x \ge -2$. Точка 7,5 изображена выколотой, следовательно, переменная $x$ строго меньше 7,5. Это записывается как $x < 7,5$. Составим из этих условий двойное неравенство.

Ответ: $-2 \le x < 7,5$

5.13 Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3. Сколько существует таких полуинтервалов?

Задача состоит из двух частей: 1) записать и изобразить полуинтервалы между точками 0 и 0,3; 2) определить количество таких полуинтервалов.

Полуинтервал — это числовой промежуток, который включает один из своих концов, но не включает другой. Для заданных точек 0 и 0,3 существует два таких полуинтервала.

Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3.

Существует два полуинтервала, удовлетворяющих условию:

1. Полуинтервал, включающий 0 и не включающий 0,3

Этот промежуток обозначается как $[0; 0,3)$. Он содержит все числа $x$, которые больше или равны 0 и строго меньше 0,3.
В виде двойного неравенства это записывается как: $0 \le x < 0,3$.
На координатной прямой точка 0 отмечается закрашенным кружком (поскольку неравенство нестрогое), а точка 0,3 — выколотым (пустым) кружком (поскольку неравенство строгое). Область между ними заштриховывается.

2. Полуинтервал, не включающий 0 и включающий 0,3

Этот промежуток обозначается как $(0; 0,3]$. Он содержит все числа $x$, которые строго больше 0 и меньше или равны 0,3.
В виде двойного неравенства это записывается как: $0 < x \le 0,3$.
На координатной прямой точка 0 отмечается выколотым кружком, а точка 0,3 — закрашенным.

Ответ: Существует два полуинтервала: 1) $[0; 0,3)$, который записывается неравенством $0 \le x < 0,3$; 2) $(0; 0,3]$, который записывается неравенством $0 < x \le 0,3$. Их графические изображения представлены выше.

Сколько существует таких полуинтервалов?

Между двумя различными точками на числовой прямой можно определить ровно два полуинтервала: один, который включает левую точку и исключает правую, и второй, который исключает левую точку и включает правую. Таким образом, между точками 0 и 0,3 существует два таких полуинтервала.

Ответ: 2.

5.14 Изобразите на координатной прямой указанные промежутки (используйте для этого разные цветные карандаши). Найдите объединение и пересечение этих промежутков:

а) $-1 \le x \le 7, 1 \le x \le 10;$

б) $-5 \le x \le -2, -2 \le x \le 5;$

в) $0 < x < 7, 2 \le x < 7;$

г) $-8 < x < -4, -4 < x \le 0.$

а) Даны два промежутка: $-1 \le x \le 7$ и $1 \le x \le 10$. В виде числовых отрезков это $[-1, 7]$ и $[1, 10]$.
Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Отметим точки -1, 1, 7 и 10. Поскольку все неравенства нестрогие, все точки на прямой будут закрашенными. Первый промежуток $[-1, 7]$ — это все числа между -1 и 7, включая концы. Второй промежуток $[1, 10]$ — это все числа между 1 и 10, включая концы.
Объединение ($[-1, 7] \cup [1, 10]$) — это множество всех точек, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков. На координатной прямой это вся заштрихованная область, от самого левого конца (-1) до самого правого (10).
Результат: $[-1, 10]$ или $-1 \le x \le 10$.
Пересечение ($[-1, 7] \cap [1, 10]$) — это множество всех точек, принадлежащих обоим промежуткам одновременно. На координатной прямой это общая часть обоих промежутков, где их штриховки накладываются. Область пересечения начинается в точке 1 и заканчивается в точке 7.
Результат: $[1, 7]$ или $1 \le x \le 7$.
Ответ: Объединение: $[-1, 10]$. Пересечение: $[1, 7]$.

б) Даны два промежутка: $-5 \le x \le -2$ и $-2 \le x \le 5$. В виде числовых отрезков это $[-5, -2]$ и $[-2, 5]$.
Изобразим их на координатной прямой. Отметим точки -5, -2 и 5. Все точки будут закрашенными, так как неравенства нестрогие. Первый промежуток $[-5, -2]$ и второй $[-2, 5]$ имеют одну общую точку -2.
Объединение ($[-5, -2] \cup [-2, 5]$) — это все точки, принадлежащие хотя бы одному из промежутков. Так как промежутки "стыкуются" в точке -2, их объединение представляет собой один сплошной отрезок от -5 до 5.
Результат: $[-5, 5]$ или $-5 \le x \le 5$.
Пересечение ($[-5, -2] \cap [-2, 5]$) — это общие точки для обоих промежутков. Единственная общая точка — это -2.
Результат: $\{-2\}$ или $x = -2$.
Ответ: Объединение: $[-5, 5]$. Пересечение: $\{-2\}$.

в) Даны два промежутка: $0 < x < 7$ и $2 \le x < 7$. В виде интервалов это $(0, 7)$ и $[2, 7)$.
Изобразим их на координатной прямой. Отметим точки 0, 2 и 7. Для первого промежутка $(0, 7)$ точки 0 и 7 будут выколотыми (незакрашенными), так как неравенства строгие. Для второго промежутка $[2, 7)$ точка 2 будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка 7 — выколотой (неравенство строгое).
Объединение ($(0, 7) \cup [2, 7)$) — это все точки, принадлежащие хотя бы одному из промежутков. Второй промежуток $[2, 7)$ полностью содержится в первом $(0, 7)$. Поэтому их объединение совпадает с большим промежутком.
Результат: $(0, 7)$ или $0 < x < 7$.
Пересечение ($(0, 7) \cap [2, 7)$) — это общие точки для обоих промежутков. Поскольку второй промежуток полностью содержится в первом, их пересечение будет равно меньшему промежутку.
Результат: $[2, 7)$ или $2 \le x < 7$.
Ответ: Объединение: $(0, 7)$. Пересечение: $[2, 7)$.

г) Даны два промежутка: $-8 \le x < -4$ и $-4 < x \le 0$. В виде интервалов это $[-8, -4)$ и $(-4, 0]$.
Изобразим их на координатной прямой. Отметим точки -8, -4 и 0. Для промежутка $[-8, -4)$ точка -8 закрашенная, а -4 — выколотая. Для промежутка $(-4, 0]$ точка -4 выколотая, а 0 — закрашенная. Эти два промежутка не имеют общих точек, они разделены точкой -4, которая не принадлежит ни одному из них.
Объединение ($[-8, -4) \cup (-4, 0]$) — это все точки, принадлежащие либо первому, либо второму промежутку. Так как точка -4 не входит ни в один из них, объединение будет состоять из двух отдельных интервалов.
Результат: $[-8, -4) \cup (-4, 0]$ или $-8 \le x < -4$ и $-4 < x \le 0$.
Пересечение ($[-8, -4) \cap (-4, 0]$) — это общие точки для обоих промежутков. Так как у них нет общих точек, пересечение является пустым множеством.
Результат: $\emptyset$ (пустое множество).
Ответ: Объединение: $[-8, -4) \cup (-4, 0]$. Пересечение: $\emptyset$.

5.15 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Какое утверждение неверно?

1) пересечение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

2) объединение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо проанализировать каждое из них.

1) пересечение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Первый промежуток задан неравенством $x \le 1$. В интервальной записи это множество $(-\infty; 1]$.

Второй промежуток задан неравенством $x \le 6$. В интервальной записи это множество $(-\infty; 6]$.

Пересечение двух множеств — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам. Чтобы найти пересечение этих промежутков, нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это эквивалентно решению системы неравенств: $$ \begin{cases} x \le 1 \\ x \le 6 \end{cases} $$ Если число $x$ меньше или равно 1, то оно автоматически меньше или равно 6. Следовательно, решением системы является более строгое неравенство $x \le 1$.

Таким образом, пересечение промежутков $(-\infty; 1]$ и $(-\infty; 6]$ есть промежуток $(-\infty; 1]$, что соответствует неравенству $x \le 1$.

В утверждении же говорится, что пересечением является промежуток $x \le 6$. Это противоречит нашему выводу.

Ответ: утверждение неверно.

2) объединение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Рассматриваются те же промежутки: $(-\infty; 1]$ (соответствует $x \le 1$) и $(-\infty; 6]$ (соответствует $x \le 6$).

Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Чтобы найти объединение, нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Это эквивалентно решению совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} x \le 1 \\ x \le 6 \end{array} \right. $$ Промежуток $(-\infty; 1]$ является подмножеством промежутка $(-\infty; 6]$, поскольку все числа, меньшие или равные 1, также являются числами, меньшими или равными 6. При объединении множества с его подмножеством получается само большее множество.

Следовательно, объединение промежутков $(-\infty; 1]$ и $(-\infty; 6]$ есть промежуток $(-\infty; 6]$, что соответствует неравенству $x \le 6$.

Данное утверждение совпадает с нашим выводом.

Ответ: утверждение верно.

Таким образом, проанализировав оба пункта, мы установили, что неверным является первое утверждение.