Номер 5.14, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.14 Изобразите на координатной прямой указанные промежутки (используйте для этого разные цветные карандаши). Найдите объединение и пересечение этих промежутков:

а) $-1 \le x \le 7, 1 \le x \le 10;$

б) $-5 \le x \le -2, -2 \le x \le 5;$

в) $0 < x < 7, 2 \le x < 7;$

г) $-8 < x < -4, -4 < x \le 0.$

а) Даны два промежутка: $-1 \le x \le 7$ и $1 \le x \le 10$. В виде числовых отрезков это $[-1, 7]$ и $[1, 10]$.
Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Отметим точки -1, 1, 7 и 10. Поскольку все неравенства нестрогие, все точки на прямой будут закрашенными. Первый промежуток $[-1, 7]$ — это все числа между -1 и 7, включая концы. Второй промежуток $[1, 10]$ — это все числа между 1 и 10, включая концы.
Объединение ($[-1, 7] \cup [1, 10]$) — это множество всех точек, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков. На координатной прямой это вся заштрихованная область, от самого левого конца (-1) до самого правого (10).
Результат: $[-1, 10]$ или $-1 \le x \le 10$.
Пересечение ($[-1, 7] \cap [1, 10]$) — это множество всех точек, принадлежащих обоим промежуткам одновременно. На координатной прямой это общая часть обоих промежутков, где их штриховки накладываются. Область пересечения начинается в точке 1 и заканчивается в точке 7.
Результат: $[1, 7]$ или $1 \le x \le 7$.
Ответ: Объединение: $[-1, 10]$. Пересечение: $[1, 7]$.

б) Даны два промежутка: $-5 \le x \le -2$ и $-2 \le x \le 5$. В виде числовых отрезков это $[-5, -2]$ и $[-2, 5]$.
Изобразим их на координатной прямой. Отметим точки -5, -2 и 5. Все точки будут закрашенными, так как неравенства нестрогие. Первый промежуток $[-5, -2]$ и второй $[-2, 5]$ имеют одну общую точку -2.
Объединение ($[-5, -2] \cup [-2, 5]$) — это все точки, принадлежащие хотя бы одному из промежутков. Так как промежутки "стыкуются" в точке -2, их объединение представляет собой один сплошной отрезок от -5 до 5.
Результат: $[-5, 5]$ или $-5 \le x \le 5$.
Пересечение ($[-5, -2] \cap [-2, 5]$) — это общие точки для обоих промежутков. Единственная общая точка — это -2.
Результат: $\{-2\}$ или $x = -2$.
Ответ: Объединение: $[-5, 5]$. Пересечение: $\{-2\}$.

в) Даны два промежутка: $0 < x < 7$ и $2 \le x < 7$. В виде интервалов это $(0, 7)$ и $[2, 7)$.
Изобразим их на координатной прямой. Отметим точки 0, 2 и 7. Для первого промежутка $(0, 7)$ точки 0 и 7 будут выколотыми (незакрашенными), так как неравенства строгие. Для второго промежутка $[2, 7)$ точка 2 будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка 7 — выколотой (неравенство строгое).
Объединение ($(0, 7) \cup [2, 7)$) — это все точки, принадлежащие хотя бы одному из промежутков. Второй промежуток $[2, 7)$ полностью содержится в первом $(0, 7)$. Поэтому их объединение совпадает с большим промежутком.
Результат: $(0, 7)$ или $0 < x < 7$.
Пересечение ($(0, 7) \cap [2, 7)$) — это общие точки для обоих промежутков. Поскольку второй промежуток полностью содержится в первом, их пересечение будет равно меньшему промежутку.
Результат: $[2, 7)$ или $2 \le x < 7$.
Ответ: Объединение: $(0, 7)$. Пересечение: $[2, 7)$.

г) Даны два промежутка: $-8 \le x < -4$ и $-4 < x \le 0$. В виде интервалов это $[-8, -4)$ и $(-4, 0]$.
Изобразим их на координатной прямой. Отметим точки -8, -4 и 0. Для промежутка $[-8, -4)$ точка -8 закрашенная, а -4 — выколотая. Для промежутка $(-4, 0]$ точка -4 выколотая, а 0 — закрашенная. Эти два промежутка не имеют общих точек, они разделены точкой -4, которая не принадлежит ни одному из них.
Объединение ($[-8, -4) \cup (-4, 0]$) — это все точки, принадлежащие либо первому, либо второму промежутку. Так как точка -4 не входит ни в один из них, объединение будет состоять из двух отдельных интервалов.
Результат: $[-8, -4) \cup (-4, 0]$ или $-8 \le x < -4$ и $-4 < x \le 0$.
Пересечение ($[-8, -4) \cap (-4, 0]$) — это общие точки для обоих промежутков. Так как у них нет общих точек, пересечение является пустым множеством.
Результат: $\emptyset$ (пустое множество).
Ответ: Объединение: $[-8, -4) \cup (-4, 0]$. Пересечение: $\emptyset$.