Номер 5.15, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.15 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Какое утверждение неверно?

1) пересечение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

2) объединение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо проанализировать каждое из них.

1) пересечение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Первый промежуток задан неравенством $x \le 1$. В интервальной записи это множество $(-\infty; 1]$.

Второй промежуток задан неравенством $x \le 6$. В интервальной записи это множество $(-\infty; 6]$.

Пересечение двух множеств — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам. Чтобы найти пересечение этих промежутков, нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это эквивалентно решению системы неравенств: $$ \begin{cases} x \le 1 \\ x \le 6 \end{cases} $$ Если число $x$ меньше или равно 1, то оно автоматически меньше или равно 6. Следовательно, решением системы является более строгое неравенство $x \le 1$.

Таким образом, пересечение промежутков $(-\infty; 1]$ и $(-\infty; 6]$ есть промежуток $(-\infty; 1]$, что соответствует неравенству $x \le 1$.

В утверждении же говорится, что пересечением является промежуток $x \le 6$. Это противоречит нашему выводу.

Ответ: утверждение неверно.

2) объединение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Рассматриваются те же промежутки: $(-\infty; 1]$ (соответствует $x \le 1$) и $(-\infty; 6]$ (соответствует $x \le 6$).

Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Чтобы найти объединение, нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Это эквивалентно решению совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} x \le 1 \\ x \le 6 \end{array} \right. $$ Промежуток $(-\infty; 1]$ является подмножеством промежутка $(-\infty; 6]$, поскольку все числа, меньшие или равные 1, также являются числами, меньшими или равными 6. При объединении множества с его подмножеством получается само большее множество.

Следовательно, объединение промежутков $(-\infty; 1]$ и $(-\infty; 6]$ есть промежуток $(-\infty; 6]$, что соответствует неравенству $x \le 6$.

Данное утверждение совпадает с нашим выводом.

Ответ: утверждение верно.

Таким образом, проанализировав оба пункта, мы установили, что неверным является первое утверждение.