Номер 1, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

На координатной прямой заданы точки M(m) и N(n). Запишите формулу, по которой можно вычислить расстояние между этими точками. Справедлива ли эта формула, если одна из точек совпадает с началом отсчёта?

Расстояние между точками M(m) и N(n) можно вычислить по формуле: $\vert m - n \vert$

Запишите формулу, по которой можно вычислить расстояние между этими точками.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой — это длина отрезка, который их соединяет. Так как расстояние является неотрицательной величиной, для его нахождения нужно из большей координаты вычесть меньшую. Чтобы не рассматривать отдельно случаи, когда $m > n$ или $n > m$, используется универсальная операция — взятие модуля (абсолютной величины) разности координат.

Таким образом, формула для вычисления расстояния $d$ между точками $M(m)$ и $N(n)$ выглядит следующим образом: $$d = |m - n|$$ Эта формула также эквивалентна записи $d = |n - m|$, поскольку модуль числа и модуль противоположного ему числа равны.

Например, найдем расстояние между точками $A(8)$ и $B(3)$: $$d = |8 - 3| = |5| = 5$$ А теперь между точками $C(-2)$ и $D(4)$: $$d = |-2 - 4| = |-6| = 6$$

Ответ: Формула для вычисления расстояния $d$ между точками $M(m)$ и $N(n)$ на координатной прямой: $d = |m - n|$.

Справедлива ли эта формула, если одна из точек совпадает с началом отсчёта?

Да, данная формула абсолютно справедлива и для этого случая. Начало отсчёта — это точка $O$ с координатой $0$.

Предположим, что точка $M(m)$ совпадает с началом отсчёта, то есть её координата $m=0$. Подставим это значение в нашу формулу: $$d = |0 - n| = |-n|$$ По свойству модуля, $|-n| = |n|$. Полученное выражение $|n|$ как раз и является расстоянием от начала отсчёта до точки с координатой $n$.

Например, расстояние от начала отсчёта $O(0)$ до точки $N(7)$ равно $|0-7|=|-7|=7$. Расстояние до точки $K(-7)$ равно $|0-(-7)|=|7|=7$. В обоих случаях результат соответствует определению расстояния от начала отсчёта.

Если с началом отсчёта совпадает точка $N(n)$, то есть $n=0$, формула также работает корректно: $$d = |m - 0| = |m|$$ Это верное выражение для расстояния от точки $M(m)$ до начала отсчёта.

Следовательно, формула $d = |m - n|$ является универсальной и применяется для любых двух точек на координатной прямой, включая случай, когда одна из них — начало отсчёта.

Ответ: Да, формула $d = |m - n|$ справедлива, если одна из точек совпадает с началом отсчёта.