Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

На координатной прямой заданы точки M(m) и N(n). Запишите формулу, по которой можно вычислить расстояние между этими точками. Справедлива ли эта формула, если одна из точек совпадает с началом отсчёта?

Расстояние между точками M(m) и N(n) можно вычислить по формуле: $\vert m - n \vert$

Запишите формулу, по которой можно вычислить расстояние между этими точками.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой — это длина отрезка, который их соединяет. Так как расстояние является неотрицательной величиной, для его нахождения нужно из большей координаты вычесть меньшую. Чтобы не рассматривать отдельно случаи, когда $m > n$ или $n > m$, используется универсальная операция — взятие модуля (абсолютной величины) разности координат.

Таким образом, формула для вычисления расстояния $d$ между точками $M(m)$ и $N(n)$ выглядит следующим образом: $$d = |m - n|$$ Эта формула также эквивалентна записи $d = |n - m|$, поскольку модуль числа и модуль противоположного ему числа равны.

Например, найдем расстояние между точками $A(8)$ и $B(3)$: $$d = |8 - 3| = |5| = 5$$ А теперь между точками $C(-2)$ и $D(4)$: $$d = |-2 - 4| = |-6| = 6$$

Ответ: Формула для вычисления расстояния $d$ между точками $M(m)$ и $N(n)$ на координатной прямой: $d = |m - n|$.

Справедлива ли эта формула, если одна из точек совпадает с началом отсчёта?

Да, данная формула абсолютно справедлива и для этого случая. Начало отсчёта — это точка $O$ с координатой $0$.

Предположим, что точка $M(m)$ совпадает с началом отсчёта, то есть её координата $m=0$. Подставим это значение в нашу формулу: $$d = |0 - n| = |-n|$$ По свойству модуля, $|-n| = |n|$. Полученное выражение $|n|$ как раз и является расстоянием от начала отсчёта до точки с координатой $n$.

Например, расстояние от начала отсчёта $O(0)$ до точки $N(7)$ равно $|0-7|=|-7|=7$. Расстояние до точки $K(-7)$ равно $|0-(-7)|=|7|=7$. В обоих случаях результат соответствует определению расстояния от начала отсчёта.

Если с началом отсчёта совпадает точка $N(n)$, то есть $n=0$, формула также работает корректно: $$d = |m - 0| = |m|$$ Это верное выражение для расстояния от точки $M(m)$ до начала отсчёта.

Следовательно, формула $d = |m - n|$ является универсальной и применяется для любых двух точек на координатной прямой, включая случай, когда одна из них — начало отсчёта.

Ответ: Да, формула $d = |m - n|$ справедлива, если одна из точек совпадает с началом отсчёта.

Найдите координату середины отрезка AB для каждого случая на рисунке 5.13.

Поскольку рисунок 5.13 к задаче не приложен, решение будет продемонстрировано на общих примерах. Для нахождения координаты середины отрезка необходимо вычислить среднее арифметическое координат его концов.

Если отрезок AB задан на координатной прямой точками $A(x_A)$ и $B(x_B)$, то координата $x_C$ его середины C находится по формуле:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Рассмотрим несколько гипотетических случаев, которые могли бы быть представлены на рисунке.

Случай а)

Пусть даны точки $A(2)$ и $B(8)$. Найдем координату середины отрезка AB. Подставим значения координат в формулу:

$x_C = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Середина отрезка AB находится в точке с координатой 5.

Ответ: 5.

Случай б)

Пусть даны точки $A(-5)$ и $B(9)$. Найдем координату середины отрезка AB.

$x_C = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Середина отрезка AB находится в точке с координатой 2.

Ответ: 2.

Случай в)

Пусть даны точки $A(-10)$ и $B(-3)$. Найдем координату середины отрезка AB.

$x_C = \frac{-10 + (-3)}{2} = \frac{-13}{2} = -6.5$

Середина отрезка AB находится в точке с координатой -6.5.

Ответ: -6.5.

Случай г)

Пусть даны точки $A(-7)$ и $B(7)$. Найдем координату середины отрезка AB.

$x_C = \frac{-7 + 7}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Середина отрезка AB находится в начале координат, в точке с координатой 0.

Ответ: 0.

Для решения вашей конкретной задачи определите по рисунку 5.13 координаты точек A и B и подставьте их в приведенную выше формулу.

Расскажите, как найдена координата середины отрезка в примере из фрагмента 2.

Для нахождения координат середины отрезка используется общее правило: каждая координата середины отрезка равна среднему арифметическому (или полусумме) соответствующих координат его концов. Этот метод применяется независимо от размерности пространства (на прямой, на плоскости или в пространстве).

Вероятнее всего, в примере из фрагмента 2 рассматривался отрезок на координатной плоскости. Пусть концы отрезка — это точки $A$ с координатами $(x_A, y_A)$ и $B$ с координатами $(x_B, y_B)$. Если точка $C$ с координатами $(x_C, y_C)$ является серединой отрезка $AB$, то её координаты находятся следующим образом:

Координата $x_C$ (абсцисса) середины отрезка вычисляется как полусумма абсцисс его концов:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Координата $y_C$ (ордината) середины отрезка вычисляется как полусумма ординат его концов:
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Таким образом, чтобы найти координаты середины отрезка в указанном примере, нужно было взять координаты $x$ двух конечных точек, сложить их и разделить на 2. Затем повторить ту же операцию для координат $y$. Если бы отрезок находился в трехмерном пространстве, аналогичная операция была бы проделана и для координаты $z$.

Ответ: Координаты $(x_C, y_C)$ середины отрезка, концами которого являются точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, были найдены по формулам для нахождения среднего арифметического координат: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$.

5.16 Найдите расстояние между точками, отмеченными на координатной прямой (рис. 5.14, а–г).

а) $|115 - 89|$

б) $|67 - (-3)|$

в) $|-35 - (-90)|$

г) $|-15 - (-120)|$

Рис. 5.14

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно из большей координаты вычесть меньшую. Расстояние $d$ между точками с координатами $a$ и $b$ вычисляется по формуле: $d = |a - b|$, где $|...|$ обозначает модуль числа. Расстояние всегда является неотрицательной величиной.

а) Даны точки с координатами 89 и 115.
Поскольку $115 > 89$, то расстояние между точками равно разности этих координат:
$115 - 89 = 26$.
Ответ: 26

б) Даны точки с координатами -3 и 67.
Большая координата равна 67, а меньшая – -3. Найдем расстояние между ними:
$67 - (-3) = 67 + 3 = 70$.
Ответ: 70

в) Даны точки с координатами -90 и -35.
На координатной прямой точка с координатой -35 находится правее точки с координатой -90, следовательно, $-35 > -90$. Расстояние между точками равно:
$-35 - (-90) = -35 + 90 = 55$.
Ответ: 55

г) Даны точки с координатами -120 и -15.
На координатной прямой точка с координатой -15 находится правее точки с координатой -120, следовательно, $-15 > -120$. Расстояние между точками равно:
$-15 - (-120) = -15 + 120 = 105$.
Ответ: 105

5.17 Найдите длины отрезков $AB$, $AC$, $AO$, $AD$, $BD$ (рис. 5.15).

На числовой прямой расположены точки с координатами:

$A(-8,9)$

$B(-4)$

$O(0)$

$C(0,9)$

$D(7)$

Рис. 5.15

Для нахождения длины отрезка на координатной прямой необходимо из координаты правого конца вычесть координату левого конца, или, что то же самое, найти модуль разности координат его концов. По рисунку определим координаты данных точек:

• Координата точки A: $-8,9$
• Координата точки B: $-4$
• Координата точки O: $0$
• Координата точки C: $0,9$
• Координата точки D: $7$

AB

Длина отрезка AB равна модулю разности координат точек B и A.

$AB = |-4 - (-8,9)| = |-4 + 8,9| = |4,9| = 4,9$

Ответ: 4,9

AC

Длина отрезка AC равна модулю разности координат точек C и A.

$AC = |0,9 - (-8,9)| = |0,9 + 8,9| = |9,8| = 9,8$

Ответ: 9,8

AO

Длина отрезка AO равна модулю разности координат точек O и A.

$AO = |0 - (-8,9)| = |8,9| = 8,9$

Ответ: 8,9

AD

Длина отрезка AD равна модулю разности координат точек D и A.

$AD = |7 - (-8,9)| = |7 + 8,9| = |15,9| = 15,9$

Ответ: 15,9

BD

Длина отрезка BD равна модулю разности координат точек D и B.

$BD = |7 - (-4)| = |7 + 4| = |11| = 11$

Ответ: 11

5.18 Найдите длину отрезка MN, если:

а) $M(-7), N(35)$;

б) $M(\frac{1}{2}), N(\frac{1}{3})$;

в) $M(-2,76), N(-2,83)$.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, нужно найти модуль разности координат его концов. Если даны точки $M(x_1)$ и $N(x_2)$, то длина отрезка $MN$ вычисляется по формуле: $MN = |x_2 - x_1|$.

а) Даны координаты точек M(–7) и N(35).

Обозначим координаты точек как $x_M = -7$ и $x_N = 35$.

Применим формулу для нахождения длины отрезка:

$MN = |x_N - x_M| = |35 - (-7)| = |35 + 7| = |42| = 42$.

Можно также вычесть координаты в обратном порядке, результат будет тем же самым благодаря модулю:

$MN = |x_M - x_N| = |-7 - 35| = |-42| = 42$.

Ответ: 42.

б) Даны координаты точек M($\frac{1}{2}$) и N($\frac{1}{3}$).

Обозначим координаты точек как $x_M = \frac{1}{2}$ и $x_N = \frac{1}{3}$.

Чтобы найти разность дробей, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:

$x_M = \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

$x_N = \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$

Теперь найдем длину отрезка MN:

$MN = |x_N - x_M| = |\frac{2}{6} - \frac{3}{6}| = |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) Даны координаты точек M(–2,76) и N(–2,83).

Обозначим координаты точек как $x_M = -2,76$ и $x_N = -2,83$.

Найдем длину отрезка MN по формуле:

$MN = |x_N - x_M| = |-2,83 - (-2,76)| = |-2,83 + 2,76| = |-0,07| = 0,07$.

Поскольку $-2,76 > -2,83$, точка M находится правее точки N на координатной оси. Длину отрезка можно найти, вычитая из большей координаты меньшую:

$MN = -2,76 - (-2,83) = -2,76 + 2,83 = 0,07$.

Ответ: 0,07.

5.19 а) Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках $A(-6,8)$ и $B(12,4)$.

б) Найдите координату точки K, которая является серединой отрезка с концами в точках $M(10,6)$ и $N(-2,4)$.

а) Для того чтобы найти координаты точки С, которая является серединой отрезка AB, необходимо использовать формулу для нахождения координат середины отрезка. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Если даны точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, то координаты их середины $C(x_C, y_C)$ вычисляются по формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты точек A(-6, 8) и B(12, 4):

Координата $x$ точки С:

$x_C = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Координата $y$ точки С:

$y_C = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, точка С имеет координаты (3, 6).

Ответ: C(3, 6)

б) Аналогично, для нахождения координат точки K, которая является серединой отрезка MN, используем ту же формулу. Даны точки M(10, 6) и N(-2, 4). Координаты их середины $K(x_K, y_K)$ вычисляются так:

$x_K = \frac{x_M + x_N}{2}$

$y_K = \frac{y_M + y_N}{2}$

Подставим координаты точек M(10, 6) и N(-2, 4):

Координата $x$ точки K:

$x_K = \frac{10 + (-2)}{2} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Координата $y$ точки K:

$y_K = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, точка K имеет координаты (4, 5).

Ответ: K(4, 5)

РАССУЖДАЕМ (5.20–5.22)

5.20 Зная координату точки $A$ на прямой и расстояние между точками $A$ и $B$, найдите координату точки $B$:

а) $A(-1)$, $AB=4$;

б) $A(2)$, $AB=6$.

а)

Для нахождения координаты точки B на прямой, зная координату точки A и расстояние между ними, нужно рассмотреть два случая. Точка B может находиться на прямой как справа, так и слева от точки A.

Пусть координата точки A равна $x_A$, а координата точки B равна $x_B$. Расстояние между ними $AB = |x_B - x_A|$.

По условию, $x_A = -1$ и $AB = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$|x_B - (-1)| = 4$

$|x_B + 1| = 4$

Это уравнение эквивалентно двум возможным равенствам:

1. Точка B находится справа от A. В этом случае ее координата будет больше. $x_B + 1 = 4$ $x_B = 4 - 1 = 3$.

2. Точка B находится слева от A. В этом случае ее координата будет меньше. $x_B + 1 = -4$ $x_B = -4 - 1 = -5$.

Таким образом, координата точки B может быть равна 3 или -5.

Ответ: 3 или -5.

б)

Аналогично решаем для второго случая. По условию, координата точки A равна $x_A = 2$, а расстояние $AB = 6$.

Подставляем значения в формулу расстояния $AB = |x_B - x_A|$:

$|x_B - 2| = 6$

Раскрываем модуль и получаем два возможных варианта для координаты $x_B$:

1. Точка B находится справа от A: $x_B - 2 = 6$ $x_B = 6 + 2 = 8$.

2. Точка B находится слева от A: $x_B - 2 = -6$ $x_B = -6 + 2 = -4$.

Таким образом, координата точки B может быть равна 8 или -4.

Ответ: 8 или -4.

5.21 Точка $A$ имеет координату, равную $-4$, а точка $B$ — координату, равную $18$. Найдите координаты точек, которые делят отрезок $AB$ на четыре равные части.

Для того чтобы найти координаты точек, делящих отрезок на равные части, необходимо сначала определить длину всего отрезка. Координата точки A равна $-4$, а координата точки B равна $18$.

1. Найдем длину отрезка AB. Длина отрезка на координатной прямой — это модуль разности координат его концов: $L = |18 - (-4)| = |18 + 4| = 22$.

2. Отрезок AB нужно разделить на четыре равные части. Найдем длину каждой из этих частей, разделив общую длину отрезка на 4: $d = \frac{L}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$.

3. Теперь последовательно найдем координаты трех точек, которые делят отрезок. Будем двигаться от точки A к точке B, прибавляя каждый раз длину одной части, равную $5.5$.

Координата первой точки ($C_1$): $x_1 = x_A + d = -4 + 5.5 = 1.5$.

Координата второй точки ($C_2$), которая также является серединой отрезка AB: $x_2 = x_1 + d = 1.5 + 5.5 = 7$.

Координата третьей точки ($C_3$): $x_3 = x_2 + d = 7 + 5.5 = 12.5$.

Проверим, что расстояние от третьей точки до точки B также равно $5.5$: $|x_B - x_3| = |18 - 12.5| = 5.5$. Все верно.

Таким образом, координаты точек, которые делят отрезок AB на четыре равные части, равны 1.5, 7 и 12.5.

Ответ: 1.5; 7; 12.5.