Страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.22 Четырёхугольник $ABCD$, изображённый на рисунке 5.16, является прямоугольником. Найдите периметр этого прямоугольника.

$D$ $y$ $A(11;6)$

$0$ $x$

$C(-7;-8)$ $B(11;-8)$ Рис. 5.16

Б

Для нахождения периметра прямоугольника ABCD необходимо определить длины двух его смежных сторон, например, AB и BC. Стороны данного прямоугольника параллельны осям координат, так как у смежных вершин либо совпадают абсциссы (x-координаты), либо ординаты (y-координаты).

1. Найдем длину стороны AB.
Вершины A и B имеют координаты A(11; 6) и B(11; -8). Так как их абсциссы одинаковы ($x = 11$), сторона AB параллельна оси ординат (оси y). Ее длина вычисляется как модуль разности ординат:
$AB = |y_A - y_B| = |6 - (-8)| = |6 + 8| = 14$.

2. Найдем длину стороны BC.
Вершины B и C имеют координаты B(11; -8) и C(-7; -8). Так как их ординаты одинаковы ($y = -8$), сторона BC параллельна оси абсцисс (оси x). Ее длина вычисляется как модуль разности абсцисс:
$BC = |x_B - x_C| = |11 - (-7)| = |11 + 7| = 18$.

3. Найдем периметр прямоугольника.
Периметр прямоугольника ($P$) равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. Длины сторон AB и BC равны 14 и 18 соответственно.
$P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (14 + 18) = 2 \cdot 32 = 64$.

Ответ: 64.

5.23 Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $|x|=2$;

б) $|x| \le 1$;

в) $|x| \ge 3$.

Подсказка. Прочитайте данное условие, используя слово «расстояние», например: $|x|=6$ — расстояние от точки $x$ до 0 равно 6.

а) $|x| = 2$

Условие $|x| = 2$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат (точки 0) равно 2. На координатной прямой существуют две такие точки: точка с координатой 2 и точка с координатой -2.

Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

б) $|x| \le 1$

Условие $|x| \le 1$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат не превышает 1. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные между -1 и 1, включая сами точки -1 и 1. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le x \le 1$. На координатной прямой это множество точек представляет собой отрезок.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

в) $|x| \ge 3$

Условие $|x| \ge 3$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат больше или равно 3. Этому условию удовлетворяют все точки, координата которых $x \ge 3$, а также точки, координата которых $x \le -3$. На координатной прямой это множество точек представляет собой объединение двух лучей.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

5.24 1) Задайте двойным неравенством множество точек, удовлетворяющих условию $|x|<4$.

2) Задайте промежуток $-6<x<6$ с помощью неравенства с модулем.

1) Неравенство с модулем вида $|x| < a$, где $a$ — положительное число, равносильно двойному неравенству $-a < x < a$. Это означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше, чем $a$. Для условия $|x| < 4$ это означает, что $x$ находится между $-4$ и $4$. Таким образом, мы можем записать соответствующее двойное неравенство.

Ответ: $-4 < x < 4$

2) Двойное неравенство вида $-a < x < a$, где $a$ — положительное число, описывает все точки $x$, расстояние которых от нуля меньше, чем $a$. Это условие можно записать с помощью неравенства с модулем как $|x| < a$. В заданном промежутке $-6 < x < 6$ мы имеем дело именно с таким случаем, где $a = 6$. Следовательно, этот промежуток можно задать неравенством с модулем.

Ответ: $|x| < 6$

5.25 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ

1) Прочитайте, используя слово «расстояние»:

а) $|m - 1| = 5$;

б) $|m - 6| < 20$;

в) $|a - (-2)| > 3;

г) $|c + 10| \le 1$.

2) Запишите предложения с помощью знака модуля:

а) расстояние между точками $c$ и $5$ равно $8$;

б) расстояние между точками $a$ и $3$ больше $1$;

в) расстояние между точками $b$ и $-9$ меньше или равно $10$;

г) расстояние между точками $y$ и $-2$ больше или равно $12$.

1) а)

Геометрический смысл модуля разности двух чисел $|a - b|$ — это расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ на числовой прямой. Исходя из этого, выражение $|m - 1| = 5$ читается следующим образом: расстояние между точкой с координатой $m$ и точкой с координатой 1 равно 5.

Для полноты решения найдем значения $m$. Уравнение $|m - 1| = 5$ эквивалентно двум уравнениям: $m - 1 = 5$ или $m - 1 = -5$. Из первого уравнения получаем $m = 6$. Из второго уравнения получаем $m = -4$.

Ответ: Расстояние между точками $m$ и 1 равно 5.

1) б)

Аналогично предыдущему пункту, выражение $|m - 6| < 20$ означает, что расстояние между точкой $m$ и точкой 6 меньше 20.

Решим неравенство. Неравенство $|m - 6| < 20$ эквивалентно двойному неравенству: $-20 < m - 6 < 20$. Прибавим 6 ко всем частям неравенства: $-20 + 6 < m < 20 + 6$, что дает $-14 < m < 26$.

Ответ: Расстояние между точками $m$ и 6 меньше 20.

1) в)

Выражение $|a - (-2)| > 3$ означает, что расстояние между точкой $a$ и точкой -2 больше 3. Его можно также записать как $|a + 2| > 3$.

Решим неравенство. Неравенство $|a - (-2)| > 3$ распадается на совокупность двух неравенств: $a - (-2) > 3$ или $a - (-2) < -3$. Упростим: $a + 2 > 3$ или $a + 2 < -3$. Из первого неравенства получаем $a > 1$. Из второго неравенства получаем $a < -5$.

Ответ: Расстояние между точками $a$ и -2 больше 3.

1) г)

Для того чтобы прочитать данное выражение с использованием слова «расстояние», представим его в виде $|c - (-10)| \leq 1$. Таким образом, выражение $|c + 10| \leq 1$ означает, что расстояние между точкой $c$ и точкой -10 меньше или равно 1.

Решим неравенство. Неравенство $|c + 10| \leq 1$ эквивалентно двойному неравенству: $-1 \leq c + 10 \leq 1$. Вычтем 10 из всех частей неравенства: $-1 - 10 \leq c \leq 1 - 10$, что дает $-11 \leq c \leq -9$.

Ответ: Расстояние между точками $c$ и -10 меньше или равно 1.

2) а)

Фраза «расстояние между точками c и 5 равно 8» записывается с помощью знака модуля. Расстояние между двумя точками $x$ и $y$ на числовой прямой равно $|x - y|$. В нашем случае это будет $|c - 5|$. Таким образом, получаем уравнение: $|c - 5| = 8$.

Ответ: $|c - 5| = 8$.

2) б)

Фраза «расстояние между точками a и 3 больше 1» означает, что модуль разности координат этих точек больше 1. Записываем это в виде неравенства: $|a - 3| > 1$.

Ответ: $|a - 3| > 1$.

2) в)

Фраза «расстояние между точками b и -9 меньше или равно 10» означает, что модуль разности координат $b$ и $-9$ меньше или равен 10. Записываем это как $|b - (-9)| \leq 10$. Выражение можно упростить: $|b + 9| \leq 10$.

Ответ: $|b - (-9)| \leq 10$, что то же самое, что и $|b + 9| \leq 10$.

2) г)

Фраза «расстояние между точками y и -2 больше или равно 12» означает, что модуль разности координат $y$ и $-2$ больше или равен 12. Записываем это как $|y - (-2)| \geq 12$. Выражение можно упростить: $|y + 2| \geq 12$.

Ответ: $|y - (-2)| \geq 12$, что то же самое, что и $|y + 2| \geq 12$.

5.26 Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) $|x - 5|=3$, $|x - 5|\le 3$, $|x - 5|\ge 3$;

б) $|x - 1|=6$, $|x - 1|<6$, $|x - 1|>6$;

в) $|x + 3|=4$, $|x + 3|\le 4$, $|x + 3|\ge 4;

г) $|x + 2|=5$, $|x + 2|<5$, $|x + 2|>5$.

Для $|x - 5| = 3$:

Геометрический смысл выражения $|x - a|$ — это расстояние на координатной прямой между точками $x$ и $a$. Следовательно, условие $|x - 5| = 3$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 равно 3. Таких точек две: одна слева от 5, другая справа. Алгебраически это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x - 5 = 3$ или $x - 5 = -3$. Из первого уравнения получаем $x = 5 + 3 = 8$. Из второго уравнения получаем $x = 5 - 3 = 2$. На координатной прямой это множество представляет собой две изолированные точки: 2 и 8.

Ответ: $x \in \{2, 8\}$.

Для $|x - 5| \le 3$:

Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 меньше или равно 3. Это множество всех точек, лежащих на отрезке с центром в точке 5 и "полудлиной" 3. Алгебраически данное неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-3 \le x - 5 \le 3$. Прибавив 5 ко всем частям неравенства, получаем: $5 - 3 \le x \le 5 + 3$, то есть $2 \le x \le 8$. На координатной прямой это множество представляет собой отрезок $[2, 8]$, концы которого, точки 2 и 8, включены в множество.

Ответ: $x \in [2, 8]$.

Для $|x - 5| \ge 3$:

Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 больше или равно 3. Это множество всех точек, которые лежат вне интервала $(2, 8)$. Алгебраически это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x - 5 \ge 3$ или $x - 5 \le -3$. Решая их, получаем $x \ge 8$ или $x \le 2$. На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух лучей: один идет от точки 2 влево $(-\infty, 2]$, а другой — от точки 8 вправо $[8, \infty)$. Точки 2 и 8 включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [8, \infty)$.

Для $|x - 1| = 6$:

Условие означает, что расстояние от точки $x$ до точки 1 равно 6. Решаем уравнение: $x - 1 = 6$ или $x - 1 = -6$. Получаем $x = 7$ и $x = -5$. На координатной прямой это две изолированные точки: -5 и 7.

Ответ: $x \in \{-5, 7\}$.

Для $|x - 1| < 6$:

Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 1 строго меньше 6. Это эквивалентно двойному неравенству: $-6 < x - 1 < 6$. Прибавляем 1 ко всем частям: $1 - 6 < x < 1 + 6$, то есть $-5 < x < 7$. На координатной прямой это открытый интервал $(-5, 7)$, концы которого не включены в множество.

Ответ: $x \in (-5, 7)$.

Для $|x - 1| > 6$:

Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 1 строго больше 6. Это эквивалентно совокупности: $x - 1 > 6$ или $x - 1 < -6$. Решая, получаем $x > 7$ или $x < -5$. На координатной прямой это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -5)$ и $(7, \infty)$. Точки -5 и 7 не включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (7, \infty)$.

Для $|x + 3| = 4$:

Условие можно переписать как $|x - (-3)| = 4$. Это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -3 равно 4. Решаем уравнение: $x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$. Получаем $x = 1$ и $x = -7$. На координатной прямой это две изолированные точки: -7 и 1.

Ответ: $x \in \{-7, 1\}$.

Для $|x + 3| \le 4$:

Неравенство $|x - (-3)| \le 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -3 меньше или равно 4. Это эквивалентно двойному неравенству: $-4 \le x + 3 \le 4$. Вычитаем 3 из всех частей: $-3 - 4 \le x \le -3 + 4$, то есть $-7 \le x \le 1$. На координатной прямой это отрезок $[-7, 1]$, концы которого включены в множество.

Ответ: $x \in [-7, 1]$.

Для $|x + 3| \ge 4$:

Неравенство $|x - (-3)| \ge 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -3 больше или равно 4. Это эквивалентно совокупности: $x + 3 \ge 4$ или $x + 3 \le -4$. Решая, получаем $x \ge 1$ или $x \le -7$. На координатной прямой это объединение двух лучей: $(-\infty, -7]$ и $[1, \infty)$. Точки -7 и 1 включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [1, \infty)$.

Для $|x + 2| = 5$:

Условие $|x - (-2)| = 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -2 равно 5. Решаем уравнение: $x + 2 = 5$ или $x + 2 = -5$. Получаем $x = 3$ и $x = -7$. На координатной прямой это две изолированные точки: -7 и 3.

Ответ: $x \in \{-7, 3\}$.

Для $|x + 2| < 5$:

Неравенство $|x - (-2)| < 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -2 строго меньше 5. Это эквивалентно двойному неравенству: $-5 < x + 2 < 5$. Вычитаем 2 из всех частей: $-2 - 5 < x < -2 + 5$, то есть $-7 < x < 3$. На координатной прямой это открытый интервал $(-7, 3)$, концы которого не включены в множество.

Ответ: $x \in (-7, 3)$.

Для $|x + 2| > 5$:

Неравенство $|x - (-2)| > 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -2 строго больше 5. Это эквивалентно совокупности: $x + 2 > 5$ или $x + 2 < -5$. Решая, получаем $x > 3$ или $x < -7$. На координатной прямой это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -7)$ и $(3, \infty)$. Точки -7 и 3 не включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.