Номер 5.25, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Расстояние между точками координатной прямой. Глава 5. Координаты и графики - номер 5.25, страница 118.

Условие.

5.25 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ

1) Прочитайте, используя слово «расстояние»:

а) $|m - 1| = 5$;

б) $|m - 6| < 20$;

в) $|a - (-2)| > 3;

г) $|c + 10| \le 1$.

2) Запишите предложения с помощью знака модуля:

а) расстояние между точками $c$ и $5$ равно $8$;

б) расстояние между точками $a$ и $3$ больше $1$;

в) расстояние между точками $b$ и $-9$ меньше или равно $10$;

г) расстояние между точками $y$ и $-2$ больше или равно $12$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) а)

Геометрический смысл модуля разности двух чисел $|a - b|$ — это расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ на числовой прямой. Исходя из этого, выражение $|m - 1| = 5$ читается следующим образом: расстояние между точкой с координатой $m$ и точкой с координатой 1 равно 5.

Для полноты решения найдем значения $m$. Уравнение $|m - 1| = 5$ эквивалентно двум уравнениям: $m - 1 = 5$ или $m - 1 = -5$. Из первого уравнения получаем $m = 6$. Из второго уравнения получаем $m = -4$.

Ответ: Расстояние между точками $m$ и 1 равно 5.

1) б)

Аналогично предыдущему пункту, выражение $|m - 6| < 20$ означает, что расстояние между точкой $m$ и точкой 6 меньше 20.

Решим неравенство. Неравенство $|m - 6| < 20$ эквивалентно двойному неравенству: $-20 < m - 6 < 20$. Прибавим 6 ко всем частям неравенства: $-20 + 6 < m < 20 + 6$, что дает $-14 < m < 26$.

Ответ: Расстояние между точками $m$ и 6 меньше 20.

1) в)

Выражение $|a - (-2)| > 3$ означает, что расстояние между точкой $a$ и точкой -2 больше 3. Его можно также записать как $|a + 2| > 3$.

Решим неравенство. Неравенство $|a - (-2)| > 3$ распадается на совокупность двух неравенств: $a - (-2) > 3$ или $a - (-2) < -3$. Упростим: $a + 2 > 3$ или $a + 2 < -3$. Из первого неравенства получаем $a > 1$. Из второго неравенства получаем $a < -5$.

Ответ: Расстояние между точками $a$ и -2 больше 3.

1) г)

Для того чтобы прочитать данное выражение с использованием слова «расстояние», представим его в виде $|c - (-10)| \leq 1$. Таким образом, выражение $|c + 10| \leq 1$ означает, что расстояние между точкой $c$ и точкой -10 меньше или равно 1.

Решим неравенство. Неравенство $|c + 10| \leq 1$ эквивалентно двойному неравенству: $-1 \leq c + 10 \leq 1$. Вычтем 10 из всех частей неравенства: $-1 - 10 \leq c \leq 1 - 10$, что дает $-11 \leq c \leq -9$.

Ответ: Расстояние между точками $c$ и -10 меньше или равно 1.

2) а)

Фраза «расстояние между точками c и 5 равно 8» записывается с помощью знака модуля. Расстояние между двумя точками $x$ и $y$ на числовой прямой равно $|x - y|$. В нашем случае это будет $|c - 5|$. Таким образом, получаем уравнение: $|c - 5| = 8$.

Ответ: $|c - 5| = 8$.

2) б)

Фраза «расстояние между точками a и 3 больше 1» означает, что модуль разности координат этих точек больше 1. Записываем это в виде неравенства: $|a - 3| > 1$.

Ответ: $|a - 3| > 1$.

2) в)

Фраза «расстояние между точками b и -9 меньше или равно 10» означает, что модуль разности координат $b$ и $-9$ меньше или равен 10. Записываем это как $|b - (-9)| \leq 10$. Выражение можно упростить: $|b + 9| \leq 10$.

Ответ: $|b - (-9)| \leq 10$, что то же самое, что и $|b + 9| \leq 10$.

2) г)

Фраза «расстояние между точками y и -2 больше или равно 12» означает, что модуль разности координат $y$ и $-2$ больше или равен 12. Записываем это как $|y - (-2)| \geq 12$. Выражение можно упростить: $|y + 2| \geq 12$.

Ответ: $|y - (-2)| \geq 12$, что то же самое, что и $|y + 2| \geq 12$.