Номер 5.26, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Расстояние между точками координатной прямой. Глава 5. Координаты и графики - номер 5.26, страница 118.

Условие.

5.26 Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) $|x - 5|=3$, $|x - 5|\le 3$, $|x - 5|\ge 3$;

б) $|x - 1|=6$, $|x - 1|<6$, $|x - 1|>6$;

в) $|x + 3|=4$, $|x + 3|\le 4$, $|x + 3|\ge 4;

г) $|x + 2|=5$, $|x + 2|<5$, $|x + 2|>5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для $|x - 5| = 3$:

Геометрический смысл выражения $|x - a|$ — это расстояние на координатной прямой между точками $x$ и $a$. Следовательно, условие $|x - 5| = 3$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 равно 3. Таких точек две: одна слева от 5, другая справа. Алгебраически это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x - 5 = 3$ или $x - 5 = -3$. Из первого уравнения получаем $x = 5 + 3 = 8$. Из второго уравнения получаем $x = 5 - 3 = 2$. На координатной прямой это множество представляет собой две изолированные точки: 2 и 8.

Ответ: $x \in \{2, 8\}$.

Для $|x - 5| \le 3$:

Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 меньше или равно 3. Это множество всех точек, лежащих на отрезке с центром в точке 5 и "полудлиной" 3. Алгебраически данное неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-3 \le x - 5 \le 3$. Прибавив 5 ко всем частям неравенства, получаем: $5 - 3 \le x \le 5 + 3$, то есть $2 \le x \le 8$. На координатной прямой это множество представляет собой отрезок $[2, 8]$, концы которого, точки 2 и 8, включены в множество.

Ответ: $x \in [2, 8]$.

Для $|x - 5| \ge 3$:

Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 больше или равно 3. Это множество всех точек, которые лежат вне интервала $(2, 8)$. Алгебраически это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x - 5 \ge 3$ или $x - 5 \le -3$. Решая их, получаем $x \ge 8$ или $x \le 2$. На координатной прямой это множество представляет собой объединение двух лучей: один идет от точки 2 влево $(-\infty, 2]$, а другой — от точки 8 вправо $[8, \infty)$. Точки 2 и 8 включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [8, \infty)$.

б)

Для $|x - 1| = 6$:

Условие означает, что расстояние от точки $x$ до точки 1 равно 6. Решаем уравнение: $x - 1 = 6$ или $x - 1 = -6$. Получаем $x = 7$ и $x = -5$. На координатной прямой это две изолированные точки: -5 и 7.

Ответ: $x \in \{-5, 7\}$.

Для $|x - 1| < 6$:

Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 1 строго меньше 6. Это эквивалентно двойному неравенству: $-6 < x - 1 < 6$. Прибавляем 1 ко всем частям: $1 - 6 < x < 1 + 6$, то есть $-5 < x < 7$. На координатной прямой это открытый интервал $(-5, 7)$, концы которого не включены в множество.

Ответ: $x \in (-5, 7)$.

Для $|x - 1| > 6$:

Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 1 строго больше 6. Это эквивалентно совокупности: $x - 1 > 6$ или $x - 1 < -6$. Решая, получаем $x > 7$ или $x < -5$. На координатной прямой это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -5)$ и $(7, \infty)$. Точки -5 и 7 не включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (7, \infty)$.

в)

Для $|x + 3| = 4$:

Условие можно переписать как $|x - (-3)| = 4$. Это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -3 равно 4. Решаем уравнение: $x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$. Получаем $x = 1$ и $x = -7$. На координатной прямой это две изолированные точки: -7 и 1.

Ответ: $x \in \{-7, 1\}$.

Для $|x + 3| \le 4$:

Неравенство $|x - (-3)| \le 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -3 меньше или равно 4. Это эквивалентно двойному неравенству: $-4 \le x + 3 \le 4$. Вычитаем 3 из всех частей: $-3 - 4 \le x \le -3 + 4$, то есть $-7 \le x \le 1$. На координатной прямой это отрезок $[-7, 1]$, концы которого включены в множество.

Ответ: $x \in [-7, 1]$.

Для $|x + 3| \ge 4$:

Неравенство $|x - (-3)| \ge 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -3 больше или равно 4. Это эквивалентно совокупности: $x + 3 \ge 4$ или $x + 3 \le -4$. Решая, получаем $x \ge 1$ или $x \le -7$. На координатной прямой это объединение двух лучей: $(-\infty, -7]$ и $[1, \infty)$. Точки -7 и 1 включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [1, \infty)$.

г)

Для $|x + 2| = 5$:

Условие $|x - (-2)| = 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -2 равно 5. Решаем уравнение: $x + 2 = 5$ или $x + 2 = -5$. Получаем $x = 3$ и $x = -7$. На координатной прямой это две изолированные точки: -7 и 3.

Ответ: $x \in \{-7, 3\}$.

Для $|x + 2| < 5$:

Неравенство $|x - (-2)| < 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -2 строго меньше 5. Это эквивалентно двойному неравенству: $-5 < x + 2 < 5$. Вычитаем 2 из всех частей: $-2 - 5 < x < -2 + 5$, то есть $-7 < x < 3$. На координатной прямой это открытый интервал $(-7, 3)$, концы которого не включены в множество.

Ответ: $x \in (-7, 3)$.

Для $|x + 2| > 5$:

Неравенство $|x - (-2)| > 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки -2 строго больше 5. Это эквивалентно совокупности: $x + 2 > 5$ или $x + 2 < -5$. Решая, получаем $x > 3$ или $x < -7$. На координатной прямой это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -7)$ и $(3, \infty)$. Точки -7 и 3 не включены в множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.