Страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.37 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

а) $ |x|=3; $

б) $ |y|=1; $

в) $ |y| \le 2; $

г) $ |x| \ge 5; $

д) $ |x| \le 3 $ и $ |y| \le 3; $

е) $ |x| \ge 3 $ и $ |y| \ge 3. $

а) $|x| = 3$

Условие $|x| = 3$ означает, что абсцисса точки $x$ по модулю равна 3. Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x = 3$ или $x = -3$. Каждое из этих уравнений задает на координатной плоскости вертикальную прямую. Таким образом, искомое множество точек — это две параллельные прямые, проходящие через точки $(3, 0)$ и $(-3, 0)$ и параллельные оси ординат OY.

Ответ: Две параллельные вертикальные прямые $x=3$ и $x=-3$.

б) $|y| = 1$

Условие $|y| = 1$ означает, что ордината точки $y$ по модулю равна 1. Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $y = 1$ или $y = -1$. Каждое из этих уравнений задает на координатной плоскости горизонтальную прямую. Таким образом, искомое множество точек — это две параллельные прямые, проходящие через точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ и параллельные оси абсцисс OX.

Ответ: Две параллельные горизонтальные прямые $y=1$ и $y=-1$.

в) $|y| \leq 2$

Неравенство с модулем $|y| \leq 2$ равносильно двойному неравенству $-2 \leq y \leq 2$. Это условие задает множество всех точек на координатной плоскости, ординаты которых находятся в промежутке от -2 до 2 включительно. Геометрически это представляет собой бесконечную горизонтальную полосу, ограниченную прямыми $y = -2$ и $y = 2$. Поскольку неравенство нестрогое ($\leq$), сами граничные прямые также входят в искомое множество.

Ответ: Горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y=-2$ и $y=2$, включая сами прямые.

г) $|x| \geq 5$

Неравенство с модулем $|x| \geq 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \geq 5$ или $x \leq -5$.Неравенство $x \geq 5$ задает полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = 5$, включая саму прямую.Неравенство $x \leq -5$ задает полуплоскость, расположенную слева от вертикальной прямой $x = -5$, включая саму прямую.Искомое множество

5.38 Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное условиями:

а) $y = 1$ и $x > 3$;

б) $y = 3$ и $1 < x < 3$;

в) $|y| = 2$ и $|x| > 4$.

а)

Данная задача требует найти множество точек на координатной плоскости, которые удовлетворяют двум условиям одновременно: $y=1$ и $x>3$.
Условие $y=1$ задает горизонтальную прямую, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox) и проходит через точку с координатой $y=1$ на оси ординат.
Условие $x>3$ задает открытую полуплоскость, которая находится справа от вертикальной прямой $x=3$. Граничная прямая $x=3$ не включается в множество, так как неравенство строгое.
Искомое множество точек является пересечением этих двух множеств: это та часть прямой $y=1$, для которой абсцисса $x$ строго больше 3.
Геометрически это луч, лежащий на прямой $y=1$. Он начинается в точке $(3, 1)$ и продолжается бесконечно вправо, параллельно оси Ox. Поскольку неравенство $x>3$ строгое, сама точка $(3, 1)$ не принадлежит этому множеству. На графике такая точка называется выколотой и изображается пустым кружком.

Ответ: луч, исходящий из точки $(3, 1)$ и идущий вправо параллельно оси Ox. Начальная точка $(3, 1)$ лучу не принадлежит.

б)

В этом случае нужно найти множество точек, удовлетворяющих условиям $y=3$ и $1 < x < 3$.
Условие $y=3$ задает горизонтальную прямую, параллельную оси Ox, проходящую через точку $(0, 3)$.
Условие $1 < x < 3$ задает открытую вертикальную полосу между прямыми $x=1$ и $x=3$. Граничные прямые не включаются, так как неравенства строгие.
Искомое множество точек — это пересечение прямой $y=3$ и полосы $1 < x < 3$. Это означает, что мы ищем точки на прямой $y=3$, абсциссы которых лежат в интервале от 1 до 3.
Геометрически это открытый отрезок (интервал) прямой $y=3$, концами которого являются точки $(1, 3)$ и $(3, 3)$. Так как неравенства строгие, концы отрезка, точки $(1, 3)$ и $(3, 3)$, не принадлежат множеству и изображаются выколотыми.

Ответ: отрезок прямой $y=3$ с концами в точках $(1, 3)$ и $(3, 3)$. Концы отрезка ему не принадлежат.

в)

Здесь нужно изобразить множество точек, для которых выполняются условия $|y|=2$ и $|x|>4$.
Рассмотрим каждое условие.
Условие $|y|=2$ равносильно совокупности $y=2$ или $y=-2$. Это задает две горизонтальные прямые, параллельные оси Ox: $y=2$ и $y=-2$.
Условие $|x|>4$ равносильно совокупности $x>4$ или $x<-4$. Это задает объединение двух открытых полуплоскостей: всех точек справа от прямой $x=4$ и всех точек слева от прямой $x=-4$.
Искомое множество — это точки, которые лежат на одной из прямых ($y=2$ или $y=-2$) и одновременно находятся в одной из указанных полуплоскостей ($x>4$ или $x<-4$).
Это приводит к объединению четырех лучей:
1. На прямой $y=2$: часть прямой, где $x<-4$ (луч из точки $(-4, 2)$ влево) и часть прямой, где $x>4$ (луч из точки $(4, 2)$ вправо).
2. На прямой $y=-2$: часть прямой, где $x<-4$ (луч из точки $(-4, -2)$ влево) и часть прямой, где $x>4$ (луч из точки $(4, -2)$ вправо).
Все неравенства строгие, поэтому начальные точки всех четырех лучей — $(-4, 2)$, $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(4, -2)$ — не принадлежат множеству (являются выколотыми).

Ответ: объединение четырех лучей. Два луча на прямой $y=2$: один с началом в точке $(-4, 2)$, направленный в отрицательном направлении оси Ox, и второй с началом в точке $(4, 2)$, направленный в положительном направлении оси Ox. Два других луча на прямой $y=-2$: один с началом в точке $(-4, -2)$, направленный влево, и второй с началом в точке $(4, -2)$, направленный вправо. Начальные точки всех лучей им не принадлежат.

5.39 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую, симметричную точкам прямой $x=3$:

а) относительно оси ординат;

б) относительно прямой $x=1$.

а) относительно оси ординат

Исходная прямая задана уравнением $x=3$. Это вертикальная прямая, все точки которой имеют абсциссу, равную 3. Ось ординат (ось $y$) — это прямая, заданная уравнением $x=0$.

При симметрии относительно оси ординат любая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, y)$.

Возьмем произвольную точку на прямой $x=3$. Ее координаты будут $(3, y)$, где $y$ — любое действительное число. Найдем координаты симметричной ей точки $(x', y')$:
$x' = -3$
$y' = y$

Следовательно, все точки исходной прямой $x=3$ отображаются на точки вида $(-3, y)$. Множество этих точек образует новую прямую, которая описывается уравнением $x=-3$.

Построение на координатной плоскости:
На координатной плоскости строим исходную прямую $x=3$ (синяя линия) и симметричную ей прямую $x=-3$ (красная линия) относительно оси ординат (ось $y$, показана пунктиром).

Ответ: $x = -3$.

б) относительно прямой $x=1$

Исходная прямая — $x=3$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Возьмем произвольную точку $(3, y)$ на исходной прямой. Пусть симметричная ей точка относительно прямой $x=1$ имеет координаты $(x', y')$.
Поскольку ось симметрии $x=1$ вертикальна, отрезок, соединяющий симметричные точки, будет горизонтальным. Это означает, что их ординаты равны: $y' = y$.
Середина этого отрезка должна лежать на оси симметрии $x=1$. Абсцисса середины отрезка равна среднему арифметическому абсцисс его концов: $\frac{3+x'}{2}$. Приравняем ее к абсциссе оси симметрии:
$\frac{3+x'}{2} = 1$
$3+x' = 2$
$x' = 2 - 3 = -1$

Следовательно, каждая точка $(3, y)$ прямой $x=3$ отображается в точку $(-1, y)$. Множество этих точек образует прямую, которая описывается уравнением $x=-1$.

Построение на координатной плоскости:
На координатной плоскости строим исходную прямую $x=3$ (синяя линия), ось симметрии $x=1$ (пунктирная серая линия) и симметричную прямую $x=-1$ (красная линия).

Ответ: $x = -1$.

5.40 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек, симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы, заданной неравенством $2 \leq y \leq 5$.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно алгебраически описать множество точек, симметричное заданной полосе относительно оси абсцисс, а затем изобразить это множество на координатной плоскости.

Исходное множество точек — это горизонтальная полоса, заданная двойным неравенством $2 \le y \le 5$. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из этой полосы ее ордината $y$ удовлетворяет данному условию, а абсцисса $x$ может быть любым действительным числом.

Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) преобразует точку с координатами $(x_0, y_0)$ в точку с координатами $(x_0, -y_0)$. При этом абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет свой знак на противоположный.

Пусть $(x, y)$ — произвольная точка исходной полосы. Тогда ее координаты удовлетворяют условиям: $x \in (-\infty, +\infty)$ и $2 \le y \le 5$.

Точка $(x', y')$, симметричная ей относительно оси абсцисс, будет иметь координаты $x' = x$ и $y' = -y$.

Чтобы найти множество, которому принадлежат ординаты $y'$ симметричных точек, умножим исходное неравенство для $y$ на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $2 \cdot (-1) \ge y \cdot (-1) \ge 5 \cdot (-1)$ $-2 \ge -y \ge -5$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего значения к большему): $-5 \le -y \le -2$

Поскольку $y' = -y$, то для ординат симметричных точек получаем неравенство: $-5 \le y' \le -2$.

Абсцисса $x'$ может принимать любые действительные значения, так как $x' = x$. Таким образом, искомое множество точек описывается неравенством $-5 \le y \le -2$.

Ответ: Множество точек, симметричных исходной полосе относительно оси абсцисс, описывается на алгебраическом языке двойным неравенством $-5 \le y \le -2$.

Множество точек, заданное неравенством $-5 \le y \le -2$, представляет собой горизонтальную полосу на координатной плоскости. Чтобы изобразить это множество, необходимо начертить систему координат, а затем провести две горизонтальные прямые: $y = -2$ (верхняя граница) и $y = -5$ (нижняя граница). Поскольку неравенство является нестрогим ($\le$), обе граничные прямые принадлежат искомому множеству, поэтому они изображаются сплошными линиями. Область, расположенная между этими двумя прямыми, включая сами прямые, заштриховывается.

Ответ: Искомое множество представляет собой горизонтальную полосу, заключенную между сплошными прямыми $y = -5$ и $y = -2$.