Номер 5.39, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.39 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую, симметричную точкам прямой $x=3$:

а) относительно оси ординат;

б) относительно прямой $x=1$.

а) относительно оси ординат

Исходная прямая задана уравнением $x=3$. Это вертикальная прямая, все точки которой имеют абсциссу, равную 3. Ось ординат (ось $y$) — это прямая, заданная уравнением $x=0$.

При симметрии относительно оси ординат любая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, y)$.

Возьмем произвольную точку на прямой $x=3$. Ее координаты будут $(3, y)$, где $y$ — любое действительное число. Найдем координаты симметричной ей точки $(x', y')$:
$x' = -3$
$y' = y$

Следовательно, все точки исходной прямой $x=3$ отображаются на точки вида $(-3, y)$. Множество этих точек образует новую прямую, которая описывается уравнением $x=-3$.

Построение на координатной плоскости:
На координатной плоскости строим исходную прямую $x=3$ (синяя линия) и симметричную ей прямую $x=-3$ (красная линия) относительно оси ординат (ось $y$, показана пунктиром).

Ответ: $x = -3$.

б) относительно прямой $x=1$

Исходная прямая — $x=3$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Возьмем произвольную точку $(3, y)$ на исходной прямой. Пусть симметричная ей точка относительно прямой $x=1$ имеет координаты $(x', y')$.
Поскольку ось симметрии $x=1$ вертикальна, отрезок, соединяющий симметричные точки, будет горизонтальным. Это означает, что их ординаты равны: $y' = y$.
Середина этого отрезка должна лежать на оси симметрии $x=1$. Абсцисса середины отрезка равна среднему арифметическому абсцисс его концов: $\frac{3+x'}{2}$. Приравняем ее к абсциссе оси симметрии:
$\frac{3+x'}{2} = 1$
$3+x' = 2$
$x' = 2 - 3 = -1$

Следовательно, каждая точка $(3, y)$ прямой $x=3$ отображается в точку $(-1, y)$. Множество этих точек образует прямую, которая описывается уравнением $x=-1$.

Построение на координатной плоскости:
На координатной плоскости строим исходную прямую $x=3$ (синяя линия), ось симметрии $x=1$ (пунктирная серая линия) и симметричную прямую $x=-1$ (красная линия).

Ответ: $x = -1$.