Номер 5.40, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. Множества точек на координатной плоскости. Глава 5. Координаты и графики - номер 5.40, страница 123.

Условие.

5.40 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек, симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы, заданной неравенством $2 \leq y \leq 5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно алгебраически описать множество точек, симметричное заданной полосе относительно оси абсцисс, а затем изобразить это множество на координатной плоскости.

Описание на алгебраическом языке

Исходное множество точек — это горизонтальная полоса, заданная двойным неравенством $2 \le y \le 5$. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из этой полосы ее ордината $y$ удовлетворяет данному условию, а абсцисса $x$ может быть любым действительным числом.

Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) преобразует точку с координатами $(x_0, y_0)$ в точку с координатами $(x_0, -y_0)$. При этом абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет свой знак на противоположный.

Пусть $(x, y)$ — произвольная точка исходной полосы. Тогда ее координаты удовлетворяют условиям: $x \in (-\infty, +\infty)$ и $2 \le y \le 5$.

Точка $(x', y')$, симметричная ей относительно оси абсцисс, будет иметь координаты $x' = x$ и $y' = -y$.

Чтобы найти множество, которому принадлежат ординаты $y'$ симметричных точек, умножим исходное неравенство для $y$ на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $2 \cdot (-1) \ge y \cdot (-1) \ge 5 \cdot (-1)$ $-2 \ge -y \ge -5$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего значения к большему): $-5 \le -y \le -2$

Поскольку $y' = -y$, то для ординат симметричных точек получаем неравенство: $-5 \le y' \le -2$.

Абсцисса $x'$ может принимать любые действительные значения, так как $x' = x$. Таким образом, искомое множество точек описывается неравенством $-5 \le y \le -2$.

Ответ: Множество точек, симметричных исходной полосе относительно оси абсцисс, описывается на алгебраическом языке двойным неравенством $-5 \le y \le -2$.

Изображение на координатной плоскости

Множество точек, заданное неравенством $-5 \le y \le -2$, представляет собой горизонтальную полосу на координатной плоскости. Чтобы изобразить это множество, необходимо начертить систему координат, а затем провести две горизонтальные прямые: $y = -2$ (верхняя граница) и $y = -5$ (нижняя граница). Поскольку неравенство является нестрогим ($\le$), обе граничные прямые принадлежат искомому множеству, поэтому они изображаются сплошными линиями. Область, расположенная между этими двумя прямыми, включая сами прямые, заштриховывается.

Изображение на координатной плоскости. Искомое множество — это полоса, закрашенная зеленым цветом. Исходная полоса показана пунктиром для наглядности.

Ответ: Искомое множество представляет собой горизонтальную полосу, заключенную между сплошными прямыми $y = -5$ и $y = -2$.