Номер 5.38, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.38 Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное условиями:

а) $y = 1$ и $x > 3$;

б) $y = 3$ и $1 < x < 3$;

в) $|y| = 2$ и $|x| > 4$.

а)

Данная задача требует найти множество точек на координатной плоскости, которые удовлетворяют двум условиям одновременно: $y=1$ и $x>3$.
Условие $y=1$ задает горизонтальную прямую, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox) и проходит через точку с координатой $y=1$ на оси ординат.
Условие $x>3$ задает открытую полуплоскость, которая находится справа от вертикальной прямой $x=3$. Граничная прямая $x=3$ не включается в множество, так как неравенство строгое.
Искомое множество точек является пересечением этих двух множеств: это та часть прямой $y=1$, для которой абсцисса $x$ строго больше 3.
Геометрически это луч, лежащий на прямой $y=1$. Он начинается в точке $(3, 1)$ и продолжается бесконечно вправо, параллельно оси Ox. Поскольку неравенство $x>3$ строгое, сама точка $(3, 1)$ не принадлежит этому множеству. На графике такая точка называется выколотой и изображается пустым кружком.

Ответ: луч, исходящий из точки $(3, 1)$ и идущий вправо параллельно оси Ox. Начальная точка $(3, 1)$ лучу не принадлежит.

б)

В этом случае нужно найти множество точек, удовлетворяющих условиям $y=3$ и $1 < x < 3$.
Условие $y=3$ задает горизонтальную прямую, параллельную оси Ox, проходящую через точку $(0, 3)$.
Условие $1 < x < 3$ задает открытую вертикальную полосу между прямыми $x=1$ и $x=3$. Граничные прямые не включаются, так как неравенства строгие.
Искомое множество точек — это пересечение прямой $y=3$ и полосы $1 < x < 3$. Это означает, что мы ищем точки на прямой $y=3$, абсциссы которых лежат в интервале от 1 до 3.
Геометрически это открытый отрезок (интервал) прямой $y=3$, концами которого являются точки $(1, 3)$ и $(3, 3)$. Так как неравенства строгие, концы отрезка, точки $(1, 3)$ и $(3, 3)$, не принадлежат множеству и изображаются выколотыми.

Ответ: отрезок прямой $y=3$ с концами в точках $(1, 3)$ и $(3, 3)$. Концы отрезка ему не принадлежат.

в)

Здесь нужно изобразить множество точек, для которых выполняются условия $|y|=2$ и $|x|>4$.
Рассмотрим каждое условие.
Условие $|y|=2$ равносильно совокупности $y=2$ или $y=-2$. Это задает две горизонтальные прямые, параллельные оси Ox: $y=2$ и $y=-2$.
Условие $|x|>4$ равносильно совокупности $x>4$ или $x<-4$. Это задает объединение двух открытых полуплоскостей: всех точек справа от прямой $x=4$ и всех точек слева от прямой $x=-4$.
Искомое множество — это точки, которые лежат на одной из прямых ($y=2$ или $y=-2$) и одновременно находятся в одной из указанных полуплоскостей ($x>4$ или $x<-4$).
Это приводит к объединению четырех лучей:
1. На прямой $y=2$: часть прямой, где $x<-4$ (луч из точки $(-4, 2)$ влево) и часть прямой, где $x>4$ (луч из точки $(4, 2)$ вправо).
2. На прямой $y=-2$: часть прямой, где $x<-4$ (луч из точки $(-4, -2)$ влево) и часть прямой, где $x>4$ (луч из точки $(4, -2)$ вправо).
Все неравенства строгие, поэтому начальные точки всех четырех лучей — $(-4, 2)$, $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(4, -2)$ — не принадлежат множеству (являются выколотыми).

Ответ: объединение четырех лучей. Два луча на прямой $y=2$: один с началом в точке $(-4, 2)$, направленный в отрицательном направлении оси Ox, и второй с началом в точке $(4, 2)$, направленный в положительном направлении оси Ox. Два других луча на прямой $y=-2$: один с началом в точке $(-4, -2)$, направленный влево, и второй с началом в точке $(4, -2)$, направленный вправо. Начальные точки всех лучей им не принадлежат.