Номер 5.31, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.31 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $x > 5$;

б) $x \leq \frac{2}{5}$;

в) $x \geq 0$;

г) $y \geq 0$;

д) $y < -2$;

е) $y > -3,5$.

Для изображения множества точек, удовлетворяющих неравенству на координатной плоскости, необходимо сначала построить граничную прямую, а затем определить, какая из полуплоскостей является решением.

Рассмотрим неравенство $x > 5$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых абсцисса $x$ строго больше 5, а ордината $y$ может быть любой. Граничной линией для этого множества является прямая $x = 5$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(5; 0)$ и параллельная оси ординат (оси $Oy$). Поскольку неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на самой прямой $x=5$, не входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией. Неравенству $x > 5$ удовлетворяют все точки, которые лежат правее прямой $x=5$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x=5$. Граничная прямая $x=5$ изображается пунктиром и не входит в множество решений.

Рассмотрим неравенство $x \le \frac{2}{5}$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых абсцисса $x$ меньше или равна $\frac{2}{5}$ (или $0,4$), а ордината $y$ может быть любой. Граничной линией является прямая $x = \frac{2}{5}$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(\frac{2}{5}; 0)$ и параллельная оси $Oy$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки, лежащие на самой прямой $x=\frac{2}{5}$, входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать сплошной линией. Неравенству $x \le \frac{2}{5}$ удовлетворяют все точки, которые лежат на прямой $x=\frac{2}{5}$ и левее нее.

Ответ: Замкнутая полуплоскость, расположенная слева от вертикальной прямой $x=\frac{2}{5}$, включая саму прямую.

Рассмотрим неравенство $x \ge 0$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых абсцисса $x$ неотрицательна ($x$ больше или равна 0), а ордината $y$ может быть любой. Граничной линией является прямая $x = 0$. Эта прямая совпадает с осью ординат (осью $Oy$). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки, лежащие на оси $Oy$, входят в искомое множество. Неравенству $x \ge 0$ удовлетворяют все точки, которые лежат на оси $Oy$ и правее нее. Это точки первого и четвертого координатных квадрантов, а также сама ось $Oy$.

Ответ: Правая полуплоскость, включая ее границу — ось ординат $Oy$.

Рассмотрим неравенство $y \ge 0$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых ордината $y$ неотрицательна ($y$ больше или равна 0), а абсцисса $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = 0$. Эта прямая совпадает с осью абсцисс (осью $Ox$). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки, лежащие на оси $Ox$, входят в искомое множество. Неравенству $y \ge 0$ удовлетворяют все точки, которые лежат на оси $Ox$ и выше нее. Это точки первого и второго координатных квадрантов, а также сама ось $Ox$.

Ответ: Верхняя полуплоскость, включая ее границу — ось абсцисс $Ox$.

Рассмотрим неравенство $y < -2$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых ордината $y$ строго меньше -2, а абсцисса $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = -2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; -2)$ и параллельная оси абсцисс (оси $Ox$). Поскольку неравенство строгое (<), точки, лежащие на прямой $y=-2$, не входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией. Неравенству $y < -2$ удовлетворяют все точки, которые лежат ниже прямой $y=-2$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой $y=-2$. Граничная прямая $y=-2$ изображается пунктиром и не входит в множество решений.

Рассмотрим неравенство $y > -3,5$.
Это множество всех точек $(x; y)$, у которых ордината $y$ строго больше -3,5, а абсцисса $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = -3,5$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; -3,5)$ и параллельная оси $Ox$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на прямой $y=-3,5$, не входят в искомое множество. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией. Неравенству $y > -3,5$ удовлетворяют все точки, которые лежат выше прямой $y=-3,5$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная выше горизонтальной прямой $y=-3,5$. Граничная прямая $y=-3,5$ изображается пунктиром и не входит в множество решений.