Страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.32 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют двойному неравенству:

а) $-12 \le x \le 8$;

б) $1,5 < y < 2$;

в) $-5,5 \le x \le -5$;

г) $-0,5 \le y \le 1,5$.

а) Двойное неравенство $-12 \le x \le 8$ задает множество точек на координатной плоскости, у которых абсцисса $x$ находится в промежутке от $-12$ до $8$ включительно. При этом ордината $y$ может принимать любое действительное значение.
Неравенство $x \ge -12$ задает полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x=-12$, включая саму прямую.
Неравенство $x \le 8$ задает полуплоскость, расположенную слева от вертикальной прямой $x=8$, включая саму прямую.
Искомое множество точек является пересечением этих двух полуплоскостей. Геометрически это представляет собой вертикальную полосу, заключенную между двумя прямыми. Так как неравенства нестрогие (содержат знак $\le$), то сами прямые $x=-12$ и $x=8$ (границы полосы) принадлежат этому множеству и изображаются сплошными линиями.
Ответ: Множество точек представляет собой вертикальную полосу, ограниченную сплошными прямыми $x=-12$ и $x=8$, включая сами прямые.

б) Двойное неравенство $1,5 < y < 2$ задает множество точек, у которых ордината $y$ находится в промежутке от $1,5$ до $2$, не включая концы. При этом абсцисса $x$ может принимать любое действительное значение.
Неравенство $y > 1,5$ задает полуплоскость, расположенную выше горизонтальной прямой $y=1,5$.
Неравенство $y < 2$ задает полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y=2$.
Искомое множество точек является пересечением этих двух полуплоскостей. Геометрически это представляет собой горизонтальную полосу, заключенную между двумя прямыми. Так как неравенства строгие (содержат знаки < и $>$), то сами прямые $y=1,5$ и $y=2$ (границы полосы) не принадлежат этому множеству и изображаются пунктирными линиями.
Ответ: Множество точек представляет собой горизонтальную полосу, ограниченную пунктирными прямыми $y=1,5$ и $y=2$. Границы полосы не входят в множество.

в) Двойное неравенство $-5,5 \le x \le -5$ задает множество точек, у которых абсцисса $x$ находится в промежутке от $-5,5$ до $-5$ включительно. Ордината $y$ может быть любой.
Это множество является пересечением двух полуплоскостей: $x \ge -5,5$ (справа от прямой $x=-5,5$) и $x \le -5$ (слева от прямой $x=-5$).
Геометрически это вертикальная полоса между прямыми $x=-5,5$ и $x=-5$. Так как неравенства нестрогие, границы полосы, то есть прямые $x=-5,5$ и $x=-5$, включаются в множество и изображаются сплошными линиями.
Ответ: Множество точек представляет собой вертикальную полосу, ограниченную сплошными прямыми $x=-5,5$ и $x=-5$, включая сами прямые.

г) Двойное неравенство $-0,5 \le y \le 1,5$ задает множество точек, у которых ордината $y$ находится в промежутке от $-0,5$ до $1,5$ включительно. Абсцисса $x$ может быть любой.
Это множество является пересечением двух полуплоскостей: $y \ge -0,5$ (выше прямой $y=-0,5$) и $y \le 1,5$ (ниже прямой $y=1,5$).
Геометрически это горизонтальная полоса между прямыми $y=-0,5$ и $y=1,5$. Так как неравенства нестрогие, границы полосы, то есть прямые $y=-0,5$ и $y=1,5$, включаются в множество и изображаются сплошными линиями.
Ответ: Множество точек представляет собой горизонтальную полосу, ограниченную сплошными прямыми $y=-0,5$ и $y=1,5$, включая сами прямые.

5.33 Изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых:

a) $-1 \leqslant x \leqslant 4$ и $-2 \leqslant y \leqslant 3$;

б) $0 \leqslant x \leqslant 10$ и $0 \leqslant y \leqslant 10$.

а)

Требуется найти множество точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: $ \begin{cases} -1 \le x \le 4 \\ -2 \le y \le 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $ -1 \le x \le 4 $, определяет все точки, абсцисса ($x$) которых лежит в промежутке от -1 до 4 включительно. На координатной плоскости это множество представляет собой вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x = -1$ и $x = 4$. Поскольку неравенство нестрогое, эти прямые являются границами множества и входят в него.

Второе неравенство, $ -2 \le y \le 3 $, определяет все точки, ордината ($y$) которых лежит в промежутке от -2 до 3 включительно. Это множество представляет собой горизонтальную полосу между прямыми $y = -2$ и $y = 3$. Эти прямые также включены в множество.

Так как условия должны выполняться одновременно (союз "и"), искомое множество точек является пересечением этих двух полос. Пересечение вертикальной и горизонтальной полос образует прямоугольник. Границы этого прямоугольника образованы отрезками прямых $x = -1$, $x = 4$, $y = -2$ и $y = 3$.

Вершины прямоугольника находятся в точках пересечения этих прямых: $(-1, -2)$, $(4, -2)$, $(4, 3)$ и $(-1, 3)$.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой прямоугольник, включая его внутреннюю область и границы, с вершинами в точках $(-1, -2)$, $(4, -2)$, $(4, 3)$ и $(-1, 3)$.

б)

Требуется найти множество точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: $ \begin{cases} 0 \le x \le 10 \\ 0 \le y \le 10 \end{cases} $

Неравенство $ 0 \le x \le 10 $ задает вертикальную полосу, ограниченную прямой $x = 0$ (ось ординат OY) и прямой $x = 10$.

Неравенство $ 0 \le y \le 10 $ задает горизонтальную полосу, ограниченную прямой $y = 0$ (ось абсцисс OX) и прямой $y = 10$.

Поскольку оба неравенства нестрогие, граничные прямые (включая отрезки осей координат) входят в искомое множество.

Пересечение этих двух полос образует геометрическую фигуру. Так как длины интервалов по обеим осям одинаковы (от 0 до 10, длина 10), эта фигура является квадратом. Этот квадрат расположен в первой координатной четверти.

Вершины квадрата находятся в точках пересечения граничных прямых: $(0, 0)$ (начало координат), $(10, 0)$, $(10, 10)$ и $(0, 10)$.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой квадрат, включая его внутреннюю область и границы, с вершинами в точках $(0, 0)$, $(10, 0)$, $(10, 10)$ и $(0, 10)$.

5.34 Опишите на алгебраическом языке области координатной плоскости, изображённые на рисунке 5.26, а–е.

а) $x \ge -3$

б) $y \le 0$

в) $x \le 2$

г) $0 \le y \le 2$

д) $x \ge -2$, $y \le 0$

е) $-2 \le x \le 2$, $-1 \le y \le 1$

Рис. 5.26

а) На рисунке изображена полуплоскость, ограниченная слева вертикальной прямой $x = -3$. Поскольку граница является сплошной линией, точки на самой прямой включаются в область. Это означает, что для любой точки $(x; y)$ в этой области её абсцисса $x$ должна быть больше или равна $-3$.
Ответ: $x \ge -3$

б) Заштрихованная область — это полуплоскость, расположенная под осью абсцисс (прямая $y = 0$). Граница (ось $x$) изображена сплошной линией, что означает, что точки на этой прямой также принадлежат области. Следовательно, для всех точек $(x; y)$ из этой области их ордината $y$ должна быть меньше или равна 0.
Ответ: $y \le 0$

в) На рисунке показана полуплоскость, которая находится справа от вертикальной прямой $x = 1$. Граница — сплошная линия, поэтому точки, лежащие на прямой $x=1$, включены в искомую область. Это условие выполняется для всех точек $(x; y)$, у которых абсцисса $x$ больше или равна 1.
Ответ: $x \ge 1$

г) Изображена горизонтальная полоса, заключенная между двумя параллельными прямыми. Верхняя граница — это прямая $y = 2$, а нижняя — прямая $y = -1$. Так как обе границы сплошные, точки на этих прямых включаются в область. Эта область описывается двойным неравенством для координаты $y$.
Ответ: $-1 \le y \le 2$

д) Заштрихованная область представляет собой квадрат, расположенный в третьей координатной четверти. Он ограничен прямыми $x = -2$ и $x = 0$ (ось $y$), а также прямыми $y = -2$ и $y = 0$ (ось $x$). Все границы сплошные. Область описывается системой неравенств для координат $x$ и $y$.
Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 0 \\ -2 \le y \le 0 \end{cases}$

е) Заштрихованная область — это прямоугольник с центром в начале координат. Он ограничен по горизонтали прямыми $x = -2$ и $x = 2$, а по вертикали — прямыми $y = -1$ и $y = 1$. Все границы сплошные, поэтому точки на них принадлежат области. Эту область можно описать системой двойных неравенств.
Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$

5.35 Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ задают первую координатную четверть (рис. 5.27) — все её точки имеют неотрицательные координаты. Опишите на алгебраическом языке каждую из остальных трёх координатных четвертей.

$y$
$x \ge 0$ и $y \ge 0$
$x$

Рис. 5.27

Координатная плоскость делится осями координат на четыре части, называемые координатными четвертями (или квадрантами). По условию, первая координатная четверть, включая её границы (положительные полуоси и начало координат), задается неравенствами $x \ge 0$ и $y \ge 0$, так как все её точки имеют неотрицательные координаты. Опишем остальные три четверти, нумерация которых идет против часовой стрелки.

Вторая координатная четверть
Вторая четверть расположена слева от оси ординат (оси y) и выше оси абсцисс (оси x). Это означает, что для любой точки $(x; y)$, принадлежащей этой четверти (включая её границы), координата x является неположительной, а координата y — неотрицательной.
Алгебраически это записывается системой неравенств: $x \le 0$ и $y \ge 0$.
Ответ: $x \le 0$ и $y \ge 0$.

Третья координатная четверть
Третья четверть находится слева от оси y и ниже оси x. Для любой точки $(x; y)$ в этой области (включая её границы) обе координаты являются неположительными.
На языке алгебры это условие выглядит так: $x \le 0$ и $y \le 0$.
Ответ: $x \le 0$ и $y \le 0$.

Четвертая координатная четверть
Четвертая четверть расположена справа от оси y и ниже оси x. Для любой точки $(x; y)$ в этой четверти (включая её границы) координата x является неотрицательной, а координата y — неположительной.
Это описывается следующей системой неравенств: $x \ge 0$ и $y \le 0$.
Ответ: $x \ge 0$ и $y \le 0$.

5.36 Задайте алгебраически множества точек, изображённые на рисунке 5.28, а, б.

а) $x \le 1, y \le 0$

б) $x \ge -1, y \ge 0$

Рис. 5.28

а)

Заштрихованная на рисунке область представляет собой множество точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют определенным условиям. Область ограничена двумя прямыми:
1. Вертикальная прямая проходит через точку $x = 1$. Все точки заштрихованной области находятся левее этой прямой или на ней самой. Это условие описывается неравенством $x \le 1$.
2. Горизонтальная прямая совпадает с осью абсцисс, ее уравнение $y = 0$. Все точки заштрихованной области находятся ниже этой прямой или на ней самой. Это условие описывается неравенством $y \le 0$.
Поскольку обе граничные линии нарисованы сплошными, неравенства являются нестрогими. Точка принадлежит множеству, если ее координаты удовлетворяют обоим условиям одновременно. Следовательно, множество точек задается системой неравенств.

Ответ: $ \begin{cases} x \le 1, \\ y \le 0 \end{cases} $

б)

Аналогично проанализируем область, заштрихованную на втором рисунке. Она также ограничена двумя прямыми:
1. Вертикальная прямая проходит через точку $x = -1$. Все точки заштрихованной области расположены левее этой прямой или на ней, что соответствует неравенству $x \le -1$.
2. Горизонтальная прямая — это ось абсцисс ($y=0$). Все точки заштрихованной области расположены выше этой прямой или на ней, что соответствует неравенству $y \ge 0$.
Граничные линии сплошные, поэтому неравенства нестрогие. Для принадлежности к множеству точка должна удовлетворять обоим условиям. Таким образом, искомое множество задается системой неравенств.

Ответ: $ \begin{cases} x \le -1, \\ y \ge 0 \end{cases} $