Страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.50 Постройте множество точек плоскости, координаты которых связаны соотношением $y^2 = x^2$.

5.50

Требуется построить множество точек на плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют уравнению $y^2 = x^2$.

Для решения этой задачи преобразуем исходное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - x^2 = 0$

Левая часть уравнения является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(y - x)(y + x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{gathered} y - x = 0 \\ y + x = 0 \end{gathered} \right.$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. $y - x = 0$, откуда получаем $y = x$. Это уравнение задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(1,1)$.

2. $y + x = 0$, откуда получаем $y = -x$. Это уравнение задает прямую, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Она также проходит через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(1,-1)$.

Следовательно, множество точек, удовлетворяющих соотношению $y^2 = x^2$, представляет собой объединение двух прямых: $y = x$ и $y = -x$. Эти две прямые перпендикулярны друг другу и пересекаются в начале координат.

Ответ: Искомое множество точек — это пара пересекающихся в начале координат прямых, заданных уравнениями $y = x$ и $y = -x$.