Номер 5.49, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.49 Известно, что график зависимости $y = 2x$ — прямая. Постройте эту прямую по точкам. (Сколько точек для этого достаточно?) Постройте прямую, симметричную относительно оси

a) б) Рис. 5.32

абсцисс прямой $y = 2x$. Найдите зависимость, которой удовлетворяют координаты точек этой прямой.

Задача состоит из нескольких частей: построение графика функции $y=2x$, определение необходимого количества точек для этого, и затем построение графиков, симметричных исходному относительно осей координат, с нахождением их уравнений.

1. Построение прямой $y=2x$ по точкам.

Согласно аксиоме планиметрии, через любые две различные точки проходит единственная прямая. Следовательно, для построения графика прямой функции достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Для надежности и проверки можно вычислить координаты третьей, контрольной, точки.

Найдем координаты точек для графика функции $y = 2x$:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $A(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем точку $B(1, 2)$.
• Контрольная точка: если $x = -2$, то $y = 2 \cdot (-2) = -4$. Получаем точку $C(-2, -4)$.

Отметив точки A и B на координатной плоскости и соединив их прямой, мы получим график функции $y=2x$. Можно убедиться, что эта прямая также проходит через точку C.

Ответ: Для построения прямой достаточно двух точек.

2. Построение симметричных прямых и нахождение их уравнений.

а) Прямая, симметричная относительно оси ординат (оси y)

При симметричном отображении относительно оси $y$ у каждой точки графика меняется на противоположный знак только координата $x$, а координата $y$ остается без изменений. То есть, точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$.

Найдем координаты симметричных точек для прямой $y=2x$:

• Точка $A(0, 0)$ переходит в точку $A'(-0, 0)$, то есть $A'(0, 0)$.
• Точка $B(1, 2)$ переходит в точку $B'(-1, 2)$.

Проведя прямую через точки $A'$ и $B'$, получим график, симметричный прямой $y=2x$ относительно оси ординат.

Чтобы найти уравнение этой новой прямой, выразим старые координаты через новые. Пусть точка $(x_{new}, y_{new})$ на новой прямой симметрична точке $(x_{old}, y_{old})$ на старой прямой. Тогда $x_{new} = -x_{old}$ и $y_{new} = y_{old}$. Отсюда $x_{old} = -x_{new}$. Подставим это в исходное уравнение $y_{old} = 2x_{old}$:

$y_{new} = 2(-x_{new})$

$y_{new} = -2x_{new}$

Опуская индексы, получаем итоговое уравнение.

Ответ: Зависимость, которой удовлетворяют координаты точек прямой, симметричной $y=2x$ относительно оси ординат, имеет вид $y = -2x$.

б) Прямая, симметричная относительно оси абсцисс (оси x)

При симметричном отображении относительно оси $x$ у каждой точки графика меняется на противоположный знак только координата $y$, а координата $x$ остается без изменений. То есть, точка $(x, y)$ переходит в точку $(x, -y)$.

Найдем координаты симметричных точек для прямой $y=2x$:

• Точка $A(0, 0)$ переходит в точку $A''(0, -0)$, то есть $A''(0, 0)$.
• Точка $B(1, 2)$ переходит в точку $B''(1, -2)$.

Проведя прямую через точки $A''$ и $B''$, получим график, симметричный прямой $y=2x$ относительно оси абсцисс.

Чтобы найти уравнение этой новой прямой, выразим старые координаты через новые. Пусть точка $(x_{new}, y_{new})$ на новой прямой симметрична точке $(x_{old}, y_{old})$ на старой прямой. Тогда $x_{new} = x_{old}$ и $y_{new} = -y_{old}$. Отсюда $y_{old} = -y_{new}$. Подставим это в исходное уравнение $y_{old} = 2x_{old}$:

$-y_{new} = 2x_{new}$

$y_{new} = -2x_{new}$

Опуская индексы, получаем итоговое уравнение. Интересно, что в данном случае прямые, симметричные относительно осей $x$ и $y$, совпадают.

Ответ: Зависимость, которой удовлетворяют координаты точек прямой, симметричной $y=2x$ относительно оси абсцисс, имеет вид $y = -2x$.