Номер 3, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 3, страница 129.

Условие.

Используя рисунок 5.34, опишите свойства кубической параболы.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Поскольку рисунок 5.34, на который ссылается задание, отсутствует, в решении будут описаны свойства стандартной кубической параболы, которая является графиком функции $y = x^3$.

Область определения

Функция определена для всех действительных значений аргумента $x$. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел. Математическая запись: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений

Функция может принимать любые действительные значения, от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, область значений функции — это множество всех действительных чисел. Математическая запись: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Нули функции

Значение функции равно нулю при $x=0$. То есть, $y=0$ тогда и только тогда, когда $x^3=0$, что означает $x=0$. График функции пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$.

Промежутки знакопостоянства

Функция принимает положительные значения, когда $x > 0$, и отрицательные значения, когда $x < 0$.

$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

Четность и симметрия

Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. График кубической параболы симметричен относительно начала координат $(0; 0)$.

Монотонность

Функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $x_1^3 < x_2^3$. Промежутков убывания у функции нет.

Экстремумы

У функции $y=x^3$ нет точек локального максимума или минимума. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба графика.

Непрерывность

Функция является непрерывной на всей области определения, так как является многочленом. Ее график представляет собой сплошную линию без разрывов.

Ответ: Основные свойства кубической параболы $y=x^3$: область определения и область значений — все действительные числа; функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат; функция строго возрастает на всей числовой прямой; пересекает оси в точке $(0;0)$; не имеет экстремумов (максимумов и минимумов).