Номер 5.56, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 5.56, страница 130.

Условие.

5.56 Известно, что $y = x^2 + 2x$. Составьте таблицу соответственных значений $x$ и $y$ и постройте по точкам график этой зависимости. Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Составьте таблицу соответственных значений x и y

Для того чтобы составить таблицу значений для функции $y = x^2 + 2x$, сначала проанализируем функцию. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Чтобы построить ее наиболее точно, найдем координаты ее вершины. Абсцисса вершины параболы $y=ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.

В данном случае, $a=1$ и $b=2$, следовательно:

$x_0 = -2 / (2 \cdot 1) = -1$

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -1$ в уравнение функции:

$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Выберем несколько целых значений $x$, симметричных относительно вершины, и вычислим для них соответствующие значения $y$.

• Если $x = -4$, то $y = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8$.
• Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3$.
• Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$.
• Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
• Если $x = 0$, то $y = 0^2 + 2(0) = 0$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$.

Теперь представим эти данные в виде таблицы:

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2
$y$	8	3	0	-1	0	3	8

Ответ: Таблица соответственных значений $x$ и $y$ составлена.

Постройте по точкам график этой зависимости

Для построения графика на координатной плоскости отмечаем точки, координаты которых мы вычислили и занесли в таблицу: $(-4, 8)$, $(-3, 3)$, $(-2, 0)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 8)$. После этого соединяем отмеченные точки плавной линией.

Характеристики полученного графика:

• График является параболой, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
• Вершина параболы, являющаяся ее точкой минимума, расположена в точке с координатами $(-1, -1)$.
• Осью симметрии графика является вертикальная прямая $x = -1$.
• Точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox) находятся при $y=0$. Решим уравнение $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0$, откуда получаем $x_1=0$ и $x_2=-2$. Таким образом, точки пересечения — $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.
• Точка пересечения с осью ординат (Oy) находится при $x=0$, что соответствует точке $(0,0)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2x$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$ и ветвями, направленными вверх.

Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Функция $y = x^2 + 2x$ является квадратичной. Графиком любой квадратичной функции является кривая, которая называется параболой. Эта линия знакома из курса алгебры.

Преобразовав уравнение путем выделения полного квадрата, мы можем увидеть это более наглядно:

$y = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$

Эта запись показывает, что график является стандартной параболой $y=x^2$, смещенной на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.

Ответ: Парабола.