Номер 5.58, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Координаты и графики. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Упражнения - номер 5.58, страница 130.

Условие.

5.58 Множество точек на плоскости задано условиями:

$y = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \le 1, \\ 1 \text{ при } x > 1. \end{cases}$

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Какие из точек $(0; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, $(2; 4)$, $(-2; 4)$, $(3; 1)$ принадлежат этому множеству?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.
Данное множество точек является графиком кусочной функции: $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 1 & \text{при } x > 1. \end{cases}$
График этой функции состоит из двух частей, которые строятся в зависимости от значения абсциссы $x$:
1. На промежутке $(-\infty; 1]$, то есть для всех $x \le 1$, график совпадает с графиком параболы $y = x^2$. Эта часть включает в себя левую ветвь параболы, ее вершину в точке (0; 0) и правую ветвь до точки (1; 1) включительно.
2. На промежутке $(1; +\infty)$, то есть для всех $x > 1$, график представляет собой горизонтальный луч $y = 1$. Этот луч начинается от точки (1; 1) (не включая саму точку) и идет вправо параллельно оси абсцисс.
В точке $x = 1$ значение первой части функции $y = 1^2 = 1$ совпадает со значением второй части $y = 1$, поэтому график является непрерывным. Точка (1; 1) является точкой соединения двух частей графика.
Ответ: Графиком данного множества является парабола $y=x^2$ на промежутке $(-\infty; 1]$, которая в точке (1; 1) переходит в горизонтальный луч $y=1$ для $x > 1$.

Какие из точек (0; 0), $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, (2; 4), (-2; 4), (3; 1) принадлежат этому множеству?
Для проверки принадлежности каждой точки $(x_0; y_0)$ множеству, нужно подставить ее абсциссу $x_0$ в соответствующую часть функции и проверить, совпадает ли результат с ординатой $y_0$.

- Для точки (0; 0): абсцисса $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, используем формулу $y = x^2$. Подставив $x = 0$, получаем $y = 0^2 = 0$. Ордината точки (0) совпадает с вычисленной (0). Точка принадлежит множеству.

- Для точки $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$: абсцисса $x = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, используем формулу $y = x^2$. Подставив $x = \frac{1}{2}$, получаем $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Ордината точки ($\frac{1}{4}$) совпадает с вычисленной ($\frac{1}{4}$). Точка принадлежит множеству.

- Для точки (2; 4): абсцисса $x = 2$. Это значение удовлетворяет условию $x > 1$. Следовательно, используем формулу $y = 1$. Для $x=2$ ордината должна быть равна 1. Ордината данной точки равна 4. Так как $1 \ne 4$, точка не принадлежит множеству.

- Для точки (-2; 4): абсцисса $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, используем формулу $y = x^2$. Подставив $x = -2$, получаем $y = (-2)^2 = 4$. Ордината точки (4) совпадает с вычисленной (4). Точка принадлежит множеству.

- Для точки (3; 1): абсцисса $x = 3$. Это значение удовлетворяет условию $x > 1$. Следовательно, используем формулу $y = 1$. Для $x=3$ ордината должна быть равна 1. Ордината данной точки равна 1, что совпадает. Точка принадлежит множеству.

Ответ: Этому множеству принадлежат точки (0; 0), $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, (-2; 4) и (3; 1). Точка (2; 4) этому множеству не принадлежит.