Номер 5.59, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 5.59, страница 130.

Условие.

5.59 Постройте график зависимости, если известно, что:

a) $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0, \\ -x & \text{при } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x & \text{при } x \ge 0, \\ x^3 & \text{при } x < 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3, \\ x & \text{при } -3 < x < 3, \\ -3 & \text{при } x \le -3; \end{cases}$

д) $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3, \\ |x| & \text{при } -3 < x < 3, \\ 3 & \text{при } x \le -3; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 0 & \text{при } x \ge 0, \\ -x & \text{при } -2 < x < 0, \\ 2 & \text{при } x \le -2; \end{cases}$

е) $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \le -2, \\ x^2 & \text{при } -2 < x < 2, \\ 4 & \text{при } x \ge 2. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для построения графика кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y=x^2$. Это правая ветвь стандартной параболы, вершина которой находится в начале координат. Она проходит через точки (0,0), (1,1), (2,4). Точка (0,0) принадлежит этому участку графика.

2. При $x < 0$ строим график функции $y=-x$. Это луч, являющийся биссектрисой второй координатной четверти. Он проходит через точки (-1,1), (-2,2). Конечная точка луча в начале координат (0,0) не принадлежит этому участку (является "выколотой"), так как неравенство строгое ($x < 0$).

3. Объединяем графики на одной координатной плоскости. "Выколотая" точка (0,0) на луче $y=-x$ совпадает с начальной точкой (0,0) ветви параболы $y=x^2$. Таким образом, в точке $x=0$ разрыва нет, и график является непрерывной линией.

Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в точке (0,0): для неотрицательных значений $x$ — это правая ветвь параболы $y=x^2$, для отрицательных значений $x$ — это луч $y=-x$.

б)

Для построения графика функции $y = \begin{cases} -x & \text{при } x \ge 0 \\ x^3 & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y=-x$. Это луч, выходящий из начала координат (0,0) и являющийся биссектрисой четвертой координатной четверти. Он проходит через точки (0,0), (1,-1), (2,-2). Точка (0,0) принадлежит этому участку.

2. При $x < 0$ строим график функции $y=x^3$. Это левая ветвь кубической параболы. Она проходит через точки (-1,-1), (-2,-8). Точка (0,0) этому участку не принадлежит (является "выколотой").

3. Совмещаем графики. "Выколотая" точка (0,0) левой ветви кубической параболы "закрывается" начальной точкой (0,0) луча $y=-x$. Функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в начале координат: для $x \ge 0$ — это луч $y=-x$, идущий из (0,0) вниз и вправо, для $x < 0$ — это левая ветвь кубической параболы $y=x^3$.

в)

Функция $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ x & \text{при } -3 < x < 3 \\ -3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ задана на трех промежутках.

1. На промежутке $x \ge 3$ график функции $y=3$ — это горизонтальный луч, выходящий из точки (3,3) и идущий вправо. Точка (3,3) включена.

2. На промежутке $-3 < x < 3$ график функции $y=x$ — это отрезок прямой, являющийся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Он соединяет точки (-3,-3) и (3,3). Концевые точки отрезка, (-3,-3) и (3,3), не включены (являются "выколотыми").

3. На промежутке $x \le -3$ график функции $y=-3$ — это горизонтальный луч, идущий влево от точки (-3,-3). Точка (-3,-3) включена.

При объединении этих трех частей "выколотая" точка (-3,-3) на среднем участке "закрывается" конечной точкой левого луча, а "выколотая" точка (3,3) "закрывается" начальной точкой правого луча. Таким образом, график является непрерывной линией.

Ответ: График состоит из трех соединенных частей: горизонтального луча $y=-3$ при $x \le -3$, отрезка прямой $y=x$ между точками (-3,-3) и (3,3), и горизонтального луча $y=3$ при $x \ge 3$.

г)

Функция $y = \begin{cases} 0 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } -2 < x < 0 \\ 2 & \text{при } x \le -2 \end{cases}$ задана на трех промежутках.

1. При $x \ge 0$ график функции $y=0$ — это горизонтальный луч, совпадающий с положительной полуосью Ox, включая начало координат. Начальная точка (0,0) включена.

2. При $-2 < x < 0$ график функции $y=-x$ — это отрезок прямой, соединяющий точки (-2, 2) и (0, 0). Обе концевые точки "выколоты".

3. При $x \le -2$ график функции $y=2$ — это горизонтальный луч, идущий влево от точки (-2,2). Точка (-2,2) включена.

Совмещая графики, видим, что "выколотая" точка (-2,2) на отрезке "закрывается" конечной точкой левого луча, а "выколотая" точка (0,0) "закрывается" начальной точкой правого луча. График является непрерывной линией.

Ответ: График представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из трех частей: горизонтального луча $y=2$ при $x \le -2$, отрезка $y=-x$ от (-2,2) до (0,0), и горизонтального луча $y=0$ при $x \ge 0$.

д)

Функция $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ |x| & \text{при } -3 < x < 3 \\ 3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ также задана на трех промежутках.

1. На промежутках $x \ge 3$ и $x \le -3$ график состоит из двух горизонтальных лучей на высоте $y=3$. Один луч начинается в точке (3,3) и идет вправо, другой заканчивается в точке (-3,3) и идет влево. Точки (3,3) и (-3,3) включены.

2. На промежутке $-3 < x < 3$ строим график функции $y=|x|$. Это "галочка" с вершиной в точке (0,0). Она состоит из двух отрезков: $y=-x$ на интервале $(-3, 0)$ и $y=x$ на полуинтервале $[0, 3)$. Концевые точки "галочки", (-3,3) и (3,3), "выколоты".

3. При совмещении графиков "выколотые" точки (-3,3) и (3,3) от графика $y=|x|$ "закрываются" конечными точками горизонтальных лучей. График является непрерывной линией.

Ответ: График имеет форму "ковша": он состоит из горизонтального луча $y=3$ для $x \le -3$, затем из двух отрезков $y=-x$ и $y=x$, образующих "галочку" с вершиной в (0,0) и концами в (-3,3) и (3,3), и далее из горизонтального луча $y=3$ для $x \ge 3$.

е)

Функция $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \le -2 \\ x^2 & \text{при } -2 < x < 2 \\ 4 & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$ задана на трех промежутках.

1. На промежутках $x \le -2$ и $x \ge 2$ график состоит из двух горизонтальных лучей на высоте $y=4$. Один начинается в точке (2,4) и идет вправо, другой заканчивается в точке (-2,4) и идет влево. Точки (2,4) и (-2,4) включены.

2. На промежутке $-2 < x < 2$ строим график функции $y=x^2$. Это дуга параболы с вершиной в точке (0,0), проходящая между точками (-2,4) и (2,4). Концевые точки дуги, (-2,4) и (2,4), "выколоты".

3. При совмещении графиков "выколотые" точки (-2,4) и (2,4) параболической дуги "закрываются" конечными точками горизонтальных лучей. График является непрерывной линией.

Ответ: График имеет форму "ковша" с параболическим дном: он состоит из горизонтального луча $y=4$ для $x \le -2$, затем из дуги параболы $y=x^2$ от (-2,4) до (2,4), и далее из горизонтального луча $y=4$ для $x \ge 2$.