Номер 5.60, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Координаты и графики. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Упражнения - номер 5.60, страница 131.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (5.60–5.61)

5.60 В одной системе координат постройте параболу $y = x^2$ и прямую $y = -x$. Найдите координаты точек пересечения этих графиков. При каких значениях $x$ парабола лежит выше прямой? ниже прямой?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Построение графиков

Для построения графиков функций $y = x^2$ (парабола) и $y = -x$ (прямая) в одной системе координат составим таблицы значений для каждой функции.

Для параболы $y = x^2$:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = x^2$	4	1	0	1	4

Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Для прямой $y = -x$:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = -x$	2	1	0	-1	-2

Это прямая, проходящая через начало координат и точку $(-1, 1)$. Она является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, мы получим графики параболы и прямой.

Нахождение координат точек пересечения этих графиков

Чтобы найти точки пересечения, нужно приравнять правые части уравнений функций, так как в точках пересечения их координаты $x$ и $y$ совпадают:

$x^2 = -x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой из найденных абсцисс, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = -x$.

При $x_1 = 0$, $y_1 = -0 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1) = 1$. Вторая точка пересечения: $(-1, 1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(-1, 1)$ и $(0, 0)$.

При каких значениях x парабола лежит выше прямой?

Парабола $y=x^2$ лежит выше прямой $y=-x$, если выполняется неравенство:

$x^2 > -x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + x > 0$

$x(x + 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x+1)=0$ равны $x=0$ и $x=-1$. Они разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1)$ (например, при $x=-2$) выражение $(-2)(-2+1) = (-2)(-1) = 2 > 0$. Неравенство выполняется.
• На интервале $(-1, 0)$ (например, при $x=-0.5$) выражение $(-0.5)(-0.5+1) = -0.25 < 0$. Неравенство не выполняется.
• На интервале $(0, +\infty)$ (например, при $x=1$) выражение $1(1+1) = 2 > 0$. Неравенство выполняется.

Таким образом, парабола лежит выше прямой при $x$ из объединения двух интервалов.

Ответ: Парабола лежит выше прямой при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

При каких значениях x парабола лежит ниже прямой?

Парабола $y=x^2$ лежит ниже прямой $y=-x$, если выполняется неравенство:

$x^2 < -x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + x < 0$

$x(x + 1) < 0$

Используя результаты анализа из предыдущего пункта, мы видим, что это неравенство выполняется на том интервале, где произведение $x(x+1)$ отрицательно.

Это происходит на интервале $(-1, 0)$.

Ответ: Парабола лежит ниже прямой при $x \in (-1, 0)$.