Номер 5.63, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.63 Постройте график зависимости:

a) $y = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \ge 1, \\ 1 \text{ при } -1 < x < 1, \\ -x \text{ при } x \le -1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 4 \text{ при } x \ge 2, \\ x^2 \text{ при } 0 < x < 2, \\ -x \text{ при } x \le 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x \text{ при } |x| \ge 1, \\ x^3 \text{ при } |x| < 1. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика нужно построить график каждой из трех функций на заданном для нее промежутке.

1. На промежутке $x \ge 1$ функция имеет вид $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Построим эту часть графика по точкам. Найдем значение функции на границе промежутка: при $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x=2$: $y=2^2=4$. Точка $(2, 4)$ также принадлежит графику. Соединяем точки, получая ветвь параболы, начинающуюся в точке $(1, 1)$ и уходящую вправо и вверх.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ функция имеет вид $y=1$. Это горизонтальная прямая. Графиком является отрезок этой прямой, концы которого, точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, не принадлежат графику (их принято обозначать выколотыми или светлыми кружками).

3. На промежутке $x \le -1$ функция имеет вид $y = -x$. Это часть прямой, являющейся биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Найдем значение функции на границе промежутка: при $x=-1$, $y=-(-1)=1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x=-2$: $y=-(-2)=2$. Точка $(-2, 2)$ также принадлежит графику. Соединяем точки, получая луч, начинающийся в точке $(-1, 1)$ и уходящий влево и вверх.

Теперь объединим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x=-1$ график функции $y=-x$ заканчивается в точке $(-1, 1)$ (точка закрашенная), а график функции $y=1$ начинается в этой же точке $(-1, 1)$ (точка выколотая). Таким образом, в точке $x=-1$ разрыва нет. Аналогично, в точке $x=1$ график функции $y=1$ заканчивается в точке $(1, 1)$ (точка выколотая), а график функции $y=x^2$ начинается в этой же точке $(1, 1)$ (точка закрашенная). В точке $x=1$ разрыва также нет. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: График состоит из трех частей. Для $x \le -1$ это луч $y=-x$, выходящий из точки $(-1, 1)$. Для $-1 < x < 1$ это отрезок прямой $y=1$ между точками $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Для $x \ge 1$ это часть параболы $y=x^2$, выходящая из точки $(1, 1)$. Все три части непрерывно соединены в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Для построения графика этой кусочно-заданной функции рассмотрим каждый из трех промежутков.

1. На промежутке $x \ge 2$ функция имеет вид $y = 4$. Это горизонтальная прямая. Графиком является луч, начинающийся в точке $(2, 4)$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое) и идущий вправо параллельно оси абсцисс.

2. На промежутке $0 < x < 2$ функция имеет вид $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в начале координат и ветвями вверх. Граничные точки интервала: при $x \to 0$ справа, $y \to 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (выколотая точка). При $x \to 2$ слева, $y \to 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ также не принадлежит этой части графика (выколотая точка). Графиком является дуга параболы между точками $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

3. На промежутке $x \le 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это часть прямой, биссектрисы II и IV координатных углов. Граничная точка: при $x=0$, $y=-0=0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, $x=-1$: $y=-(-1)=1$. Точка $(-1, 1)$ также принадлежит графику. Графиком является луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ и идущий влево и вверх.

Объединим графики. В точке $x=0$ луч $y=-x$ заканчивается в точке $(0, 0)$ (закрашенная), а дуга параболы $y=x^2$ начинается в этой же точке (выколотая). Следовательно, в точке $x=0$ график непрерывен. В точке $x=2$ дуга параболы $y=x^2$ заканчивается в точке $(2, 4)$ (выколотая), а луч $y=4$ начинается в этой же точке (закрашенная). Следовательно, в точке $x=2$ график также непрерывен.

Ответ: График состоит из трех непрерывно соединенных частей. Для $x \le 0$ это луч $y=-x$, идущий из начала координат вверх и влево. Для $0 < x < 2$ это дуга параболы $y=x^2$, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$. Для $x \ge 2$ это горизонтальный луч $y=4$, выходящий из точки $(2, 4)$ вправо.

Данная функция задана с использованием модуля. Раскроем модули в условиях, чтобы перейти к стандартному кусочному заданию.

Неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Неравенство $|x| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $y = \begin{cases} x, & \text{при } x \le -1 \\ x^3, & \text{при } -1 < x < 1 \\ x, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

Теперь построим график, рассматривая каждый промежуток.

1. На промежутках $x \le -1$ и $x \ge 1$ функция имеет вид $y=x$. Это биссектриса первого и третьего координатных углов. При $x \ge 1$, графиком является луч, начинающийся в точке $(1, 1)$ (точка закрашенная) и идущий вверх и вправо. При $x \le -1$, графиком является луч, начинающийся в точке $(-1, -1)$ (точка закрашенная) и идущий вниз и влево.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ функция имеет вид $y=x^3$. Это кубическая парабола. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и является симметричным относительно него. Найдем значения на границах: при $x \to 1$ слева, $y \to 1^3=1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит этой части графика (выколотая). При $x \to -1$ справа, $y \to (-1)^3=-1$. Точка $(-1, -1)$ также не принадлежит этой части графика (выколотая). Графиком является S-образная кривая, соединяющая точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Соединим части графика. В точке $x=1$ кубическая парабола заканчивается в точке $(1, 1)$ (выколотая), а луч $y=x$ начинается в этой же точке (закрашенная). Значит, в этой точке разрыва нет. В точке $x=-1$ кубическая парабола заканчивается в точке $(-1, -1)$ (выколотая), а луч $y=x$ начинается в этой же точке (закрашенная). В этой точке разрыва также нет. Функция непрерывна.

Ответ: График состоит из трех непрерывно соединенных частей. Для $x \ge 1$ это луч $y=x$, выходящий из точки $(1, 1)$. Для $-1 < x < 1$ это часть кубической параболы $y=x^3$ между точками $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Для $x \le -1$ это луч $y=x$, выходящий из точки $(-1, -1)$.