Номер 5.62, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 5.62, страница 131.

Условие.

5.62 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

а) $y = x^2$ и $1 \le y \le 9$;

б) $y = x^3$ и $-8 \le y \le 1$;

в) $y = |x|$ и $y \le 3$;

г) $y = |x|$ и $y \ge 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=x^2$, который представляет собой параболу с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Условие $1 \le y \le 9$ означает, что мы рассматриваем только те точки параболы, ординаты которых лежат в указанном промежутке.
Найдем соответствующие значения абсциссы $x$:
- При $y=1$, имеем $x^2=1$, откуда $x=1$ или $x=-1$. Получаем точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
- При $y=9$, имеем $x^2=9$, откуда $x=3$ или $x=-3$. Получаем точки $(3, 9)$ и $(-3, 9)$.
Таким образом, искомое множество состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ участков параболы.
Ответ: Множество точек представляет собой два участка параболы $y=x^2$: один участок соединяет точки $(-3, 9)$ и $(-1, 1)$, а второй — точки $(1, 1)$ и $(3, 9)$. Концевые точки принадлежат множеству.

б) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=x^3$ (кубическая парабола). Условие $-8 \le y \le 1$ ограничивает этот график по оси ординат.
Найдем соответствующие значения абсциссы $x$:
- При $y=-8$, имеем $x^3=-8$, откуда $x=\sqrt[3]{-8}=-2$. Получаем точку $(-2, -8)$.
- При $y=1$, имеем $x^3=1$, откуда $x=\sqrt[3]{1}=1$. Получаем точку $(1, 1)$.
Таким образом, искомое множество представляет собой непрерывный участок кривой $y=x^3$ между этими двумя точками.
Ответ: Множество точек представляет собой участок графика функции $y=x^3$, заключенный между точками $(-2, -8)$ и $(1, 1)$. Концевые точки принадлежат множеству.

в) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=|x|$. График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Условие $y \le 3$ ограничивает этот график сверху. Так как по определению модуля $y=|x| \ge 0$, полное ограничение для $y$ имеет вид $0 \le y \le 3$.
Найдем соответствующие значения абсциссы $x$:
- При $y=0$, имеем $|x|=0$, откуда $x=0$. Получаем точку $(0, 0)$.
- При $y=3$, имеем $|x|=3$, откуда $x=3$ или $x=-3$. Получаем точки $(3, 3)$ и $(-3, 3)$.
Таким образом, искомое множество состоит из двух отрезков, выходящих из начала координат.
Ответ: Множество точек представляет собой два отрезка: один соединяет точку $(0, 0)$ и $(3, 3)$, а второй — точку $(0, 0)$ и $(-3, 3)$.

г) Искомое множество точек — это часть графика функции $y=|x|$. Условие $y \ge 1$ означает, что мы рассматриваем точки графика, ордината которых не меньше 1.
Найдем начальные точки этих частей. Для этого решим уравнение $y=1$:
$|x|=1$, откуда $x=1$ или $x=-1$. Получаем точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
Поскольку мы ищем точки, где $y \ge 1$, то для $x>0$ это будет часть прямой $y=x$ при $x \ge 1$, а для $x<0$ — часть прямой $y=-x$ при $x \le -1$.
Ответ: Множество точек представляет собой два луча: один луч начинается в точке $(1, 1)$ и идет вдоль прямой $y=x$ в сторону увеличения $x$, а второй луч начинается в точке $(-1, 1)$ и идет вдоль прямой $y=-x$ в сторону уменьшения $x$. Начальные точки лучей принадлежат множеству.