Номер 5.61, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.61 Найти координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола $y = x^3$ пересекается с прямой $y = x$. Укажите промежутки значений $x$, в которых прямая расположена выше кубической параболы.

Найдите координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола $y = x^3$ пересекается с прямой $y = x$.

Для того чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В данном случае это кубическая парабола $y = x^3$ и прямая $y = x$.

Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают:

$x^3 = x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить однородное уравнение:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам три возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x_3 + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив каждое значение $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = x$:

• Если $x = -1$, то $y = -1$. Координаты первой точки: $(-1, -1)$.
• Если $x = 0$, то $y = 0$. Координаты второй точки: $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1$. Координаты третьей точки: $(1, 1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

Укажите промежутки значений $x$, в которых прямая расположена выше кубической параболы.

Условие "прямая расположена выше кубической параболы" означает, что для одних и тех же значений $x$ значение функции $y = x$ должно быть больше значения функции $y = x^3$. Запишем это в виде неравенства:

$x > x^3$

Перенесем $x^3$ в левую часть:

$x - x^3 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - x^2) > 0$

Разложим на множители выражение в скобках:

$x(1 - x)(1 + x) > 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Корни левой части неравенства: $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак выражения $x(1 - x)(1 + x)$ на каждом из этих интервалов, выбрав по одному тестовому значению из каждого.

• Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем $x = -2$. $(-2)(1 - (-2))(1 + (-2)) = (-2)(3)(-1) = 6$. Так как $6 > 0$, этот интервал является решением.
• Интервал $(-1, 0)$: возьмем $x = -0.5$. $(-0.5)(1 - (-0.5))(1 + (-0.5)) = (-0.5)(1.5)(0.5) = -0.375$. Так как $-0.375 < 0$, этот интервал не является решением.
• Интервал $(0, 1)$: возьмем $x = 0.5$. $(0.5)(1 - 0.5)(1 + 0.5) = (0.5)(0.5)(1.5) = 0.375$. Так как $0.375 > 0$, этот интервал является решением.
• Интервал $(1, \infty)$: возьмем $x = 2$. $(2)(1 - 2)(1 + 2) = (2)(-1)(3) = -6$. Так как $-6 < 0$, этот интервал не является решением.

Объединив интервалы, на которых неравенство выполняется, получаем итоговый результат.

Ответ: Прямая расположена выше кубической параболы при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.