Номер 5.55, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.55 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y = |x|$, где:

а) $x \leq 3$;

б) $x \geq -4$;

в) $-2 \leq x \leq 2$.

Для решения задачи необходимо построить график функции $y=|x|$ с учетом заданных ограничений на переменную $x$. График функции $y=|x|$ состоит из двух частей:

• прямой $y=x$ для $x \ge 0$ (биссектриса первого координатного угла)
• прямой $y=-x$ для $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла)

Вместе эти два луча, выходящие из точки $(0,0)$, образуют фигуру, похожую на букву "V".

а) $x \le 3$

Рассмотрим, как ограничение $x \le 3$ влияет на каждую часть графика.

1. Для луча $y=x$, где $x \ge 0$, условие $x \le 3$ означает, что мы должны рассматривать только ту часть луча, для которой $0 \le x \le 3$. Это отрезок прямой $y=x$, который соединяет точки $(0,0)$ и $(3,3)$. Точка $(3,3)$ включается в множество, так как неравенство нестрогое.

2. Для луча $y=-x$, где $x < 0$, условие $x \le 3$ выполняется всегда, так как любое отрицательное число меньше 3. Поэтому эта часть графика остается без изменений — это луч $y=-x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и уходящий влево и вверх.

Таким образом, искомое множество точек — это объединение луча и отрезка, встречающихся в начале координат.

Ответ: Множество точек состоит из двух частей, сходящихся в точке $(0,0)$: луча $y=-x$ для всех $x \le 0$ и отрезка прямой $y=x$, соединяющего точки $(0,0)$ и $(3,3)$.

б) $x \ge -4$

Рассмотрим, как ограничение $x \ge -4$ влияет на каждую часть графика.

1. Для луча $y=x$, где $x \ge 0$, условие $x \ge -4$ выполняется всегда. Поэтому эта часть графика остается без изменений — это луч $y=x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и уходящий вправо и вверх.

2. Для луча $y=-x$, где $x < 0$, условие $x \ge -4$ означает, что мы должны рассматривать только ту часть луча, для которой $-4 \le x < 0$. Это отрезок прямой $y=-x$, который соединяет точку $(-4, |-4|) = (-4, 4)$ и точку $(0,0)$. Точка $(-4,4)$ включается в множество, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, искомое множество точек — это объединение отрезка и луча, встречающихся в начале координат.

Ответ: Множество точек состоит из двух частей, сходящихся в точке $(0,0)$: отрезка прямой $y=-x$, соединяющего точки $(-4,4)$ и $(0,0)$, и луча $y=x$ для всех $x \ge 0$.

в) $-2 \le x \le 2$

Рассмотрим, как ограничение $-2 \le x \le 2$ влияет на каждую часть графика.

1. Для луча $y=x$, где $x \ge 0$, условие $-2 \le x \le 2$ превращается в $0 \le x \le 2$. Это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(0,0)$ и $(2,2)$.

2. Для луча $y=-x$, где $x < 0$, условие $-2 \le x \le 2$ превращается в $-2 \le x < 0$. Это отрезок прямой $y=-x$, соединяющий точки $(-2, |-2|) = (-2, 2)$ и $(0,0)$.

Таким образом, искомое множество точек — это объединение двух отрезков, встречающихся в начале координат.

Ответ: Множество точек представляет собой фигуру в виде "галочки", состоящую из двух отрезков с общей вершиной в точке $(0,0)$: отрезка, соединяющего точки $(-2,2)$ и $(0,0)$, и отрезка, соединяющего точки $(0,0)$ и $(2,2)$.