Номер 5.57, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Координаты и графики. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Упражнения - номер 5.57, страница 130.

Условие.

5.57 Множество точек на плоскости задано условиями:

$y = \begin{cases} x \text{ при } x \ge 0, \\ 0 \text{ при } x < 0. \end{cases}$

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Какие из точек (-1; 0), (0,5; 0,5), (1; 0), (2; 2), (-3; -3) принадлежат этому множеству?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Данное множество точек задано кусочной функцией: $y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 0, \\ 0 & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Для решения задачи разобьем ее на два пункта.

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Чтобы изобразить (построить график) этого множества точек, мы должны рассмотреть две части функции в зависимости от значения $x$:

1. Для всех неотрицательных значений $x$ (то есть при $x \ge 0$), значение $y$ равно $x$. Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Поскольку мы рассматриваем только случай $x \ge 0$, нам нужна та часть этой прямой, которая лежит в I координатном квадранте, включая точку начала координат $(0; 0)$. Это луч, выходящий из точки $(0; 0)$ и идущий вправо-вверх под углом $45^\circ$ к оси абсцисс.

2. Для всех отрицательных значений $x$ (то есть при $x < 0$), значение $y$ равно $0$. Графиком функции $y=0$ является ось абсцисс (ось $Ox$). Так как мы рассматриваем только случай $x < 0$, нам нужна та часть оси $Ox$, которая находится левее начала координат. Это луч, идущий из точки $(0; 0)$ (не включая саму точку) и направленный влево вдоль оси $Ox$.

Объединив обе части, мы получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из одной точки $(0;0)$: один луч совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, а второй — с биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График данного множества точек представляет собой объединение двух лучей, исходящих из начала координат: луча, совпадающего с отрицательной полуосью $Ox$ (включая точку $(0;0)$ из первого условия), и луча $y=x$, расположенного в первом координатном квадранте.

Какие из точек (-1; 0), (0,5; 0,5), (1; 0), (2; 2), (-3; -3) принадлежат этому множеству?

Для проверки принадлежности каждой точки множеству, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в заданные условия.

Проверка точки $(-1; 0)$:
Координата $x = -1$. Так как $-1 < 0$, мы используем второе правило: $y = 0$. Координата $y$ точки равна $0$, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.

Проверка точки $(0,5; 0,5)$:
Координата $x = 0,5$. Так как $0,5 \ge 0$, мы используем первое правило: $y = x$. Подставляя $x = 0,5$, получаем $y = 0,5$. Координата $y$ точки равна $0,5$, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.

Проверка точки $(1; 0)$:
Координата $x = 1$. Так как $1 \ge 0$, мы используем первое правило: $y = x$. Подставляя $x = 1$, получаем $y = 1$. Координата $y$ точки равна $0$. Так как $0 \ne 1$, точка не принадлежит множеству.

Проверка точки $(2; 2)$:
Координата $x = 2$. Так как $2 \ge 0$, мы используем первое правило: $y = x$. Подставляя $x = 2$, получаем $y = 2$. Координата $y$ точки равна $2$, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.

Проверка точки $(-3; -3)$:
Координата $x = -3$. Так как $-3 < 0$, мы используем второе правило: $y = 0$. Координата $y$ точки равна $-3$. Так как $-3 \ne 0$, точка не принадлежит множеству.

Ответ: Этому множеству принадлежат точки $(-1; 0)$, $(0,5; 0,5)$ и $(2; 2)$.