Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.51 Из точек A(0; 0), B(-1; 1), C(1; 1), D(-1; -1), E(-2; 4), F(3; 27) выберите те, которые принадлежат:

а) параболе $y = x^2$;

б) кубической параболе $y = x^3$;

в) графику зависимости $y = |x|.$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Проверим каждую из заданных точек A(0; 0), B(-1; 1), C(1; 1), D(-1; -1), E(-2; 4), F(3; 27) для каждого графика.

а) параболе $y=x^2$

Подставляем координаты точек в уравнение $y=x^2$:

• Для точки A(0; 0): $x=0, y=0$. Подставляем: $0 = 0^2$. Равенство $0=0$ верно. Точка A принадлежит графику.
• Для точки B(-1; 1): $x=-1, y=1$. Подставляем: $1 = (-1)^2$. Равенство $1=1$ верно. Точка B принадлежит графику.
• Для точки C(1; 1): $x=1, y=1$. Подставляем: $1 = 1^2$. Равенство $1=1$ верно. Точка C принадлежит графику.
• Для точки D(-1; -1): $x=-1, y=-1$. Подставляем: $-1 = (-1)^2$. Равенство $-1=1$ неверно. Точка D не принадлежит графику.
• Для точки E(-2; 4): $x=-2, y=4$. Подставляем: $4 = (-2)^2$. Равенство $4=4$ верно. Точка E принадлежит графику.
• Для точки F(3; 27): $x=3, y=27$. Подставляем: $27 = 3^2$. Равенство $27=9$ неверно. Точка F не принадлежит графику.

Ответ: A(0; 0), B(-1; 1), C(1; 1), E(-2; 4).

б) кубической параболе $y=x^3$

Подставляем координаты точек в уравнение $y=x^3$:

• Для точки A(0; 0): $x=0, y=0$. Подставляем: $0 = 0^3$. Равенство $0=0$ верно. Точка A принадлежит графику.
• Для точки B(-1; 1): $x=-1, y=1$. Подставляем: $1 = (-1)^3$. Равенство $1=-1$ неверно. Точка B не принадлежит графику.
• Для точки C(1; 1): $x=1, y=1$. Подставляем: $1 = 1^3$. Равенство $1=1$ верно. Точка C принадлежит графику.
• Для точки D(-1; -1): $x=-1, y=-1$. Подставляем: $-1 = (-1)^3$. Равенство $-1=-1$ верно. Точка D принадлежит графику.
• Для точки E(-2; 4): $x=-2, y=4$. Подставляем: $4 = (-2)^3$. Равенство $4=-8$ неверно. Точка E не принадлежит графику.
• Для точки F(3; 27): $x=3, y=27$. Подставляем: $27 = 3^3$. Равенство $27=27$ верно. Точка F принадлежит графику.

Ответ: A(0; 0), C(1; 1), D(-1; -1), F(3; 27).

в) графику зависимости $y=|x|$

Подставляем координаты точек в уравнение $y=|x|$:

• Для точки A(0; 0): $x=0, y=0$. Подставляем: $0 = |0|$. Равенство $0=0$ верно. Точка A принадлежит графику.
• Для точки B(-1; 1): $x=-1, y=1$. Подставляем: $1 = |-1|$. Равенство $1=1$ верно. Точка B принадлежит графику.
• Для точки C(1; 1): $x=1, y=1$. Подставляем: $1 = |1|$. Равенство $1=1$ верно. Точка C принадлежит графику.
• Для точки D(-1; -1): $x=-1, y=-1$. Подставляем: $-1 = |-1|$. Равенство $-1=1$ неверно. Точка D не принадлежит графику.
• Для точки E(-2; 4): $x=-2, y=4$. Подставляем: $4 = |-2|$. Равенство $4=2$ неверно. Точка E не принадлежит графику.
• Для точки F(3; 27): $x=3, y=27$. Подставляем: $27 = |3|$. Равенство $27=3$ неверно. Точка F не принадлежит графику.

Ответ: A(0; 0), B(-1; 1), C(1; 1).

5.52 Постройте по точкам график зависимости:

а) $y=-x^2$;

б) $y=-x^3$.

а)

Чтобы построить график функции $y = -x^2$ по точкам, необходимо найти координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Для этого выберем несколько значений аргумента $x$ и вычислим для них соответствующие значения функции $y$.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент перед $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, поскольку при $x=0$, $y=0$, и для всех остальных $x$, $y < 0$.

Составим таблицу значений. Для наглядности возьмем симметричные относительно нуля значения $x$:

• Если $x = 0$, то $y = -(0)^2 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = -(1)^2 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.
• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 = -1$. Получаем точку $(-1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = -(2)^2 = -4$. Получаем точку $(2, -4)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 = -4$. Получаем точку $(-2, -4)$.
• Если $x = 3$, то $y = -(3)^2 = -9$. Получаем точку $(3, -9)$.
• Если $x = -3$, то $y = -(-3)^2 = -9$. Получаем точку $(-3, -9)$.

Сведем полученные данные в таблицу:

Для построения графика нужно нанести найденные точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой. В результате получится парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси OY, ветви которой направлены вниз.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(-3, -9)$, $(-2, -4)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -4)$, $(3, -9)$ и соединить их плавной линией, образующей параболу с ветвями, направленными вниз.

б)

Чтобы построить график функции $y = -x^3$ по точкам, так же, как и в предыдущем пункте, найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику.

Данная функция является кубической, её график — кубическая парабола. Функция является нечетной, так как $y(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3$, а $-y(x) = -(-x^3) = x^3$. Поскольку $y(-x) = -y(x)$, график функции симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = -(0)^3 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = -(1)^3 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.
• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^3 = -(-1) = 1$. Получаем точку $(-1, 1)$.
• Если $x = 2$, то $y = -(2)^3 = -8$. Получаем точку $(2, -8)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^3 = -(-8) = 8$. Получаем точку $(-2, 8)$.
• Если $x = 0.5$, то $y = -(0.5)^3 = -0.125$. Получаем точку $(0.5, -0.125)$.
• Если $x = -0.5$, то $y = -(-0.5)^3 = -(-0.125) = 0.125$. Получаем точку $(-0.5, 0.125)$.

Сведем основные данные в таблицу:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график кубической параболы. График проходит через начало координат, располагается во второй и четвертой координатных четвертях и убывает на всей области определения.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$ и соединить их плавной линией, образующей кубическую параболу, симметричную относительно начала координат.

5.53 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y=x^2$, где:

а) $-3 \le x \le 3$;

б) $-2 \le x \le 1$;

в) $x \le 0$.

Для решения задачи необходимо построить график функции $y = x^2$ (парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх) и для каждого случая изобразить ту его часть, которая соответствует заданным ограничениям на переменную $x$.

а) $-3 \le x \le 3$

Искомое множество точек — это часть параболы $y = x^2$, для которой абсцисса $x$ принимает значения из отрезка $[-3, 3]$.
1. Найдем ординаты крайних точек этого участка.
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Координаты первой точки: $(-3, 9)$.
При $x = 3$, $y = (3)^2 = 9$. Координаты второй точки: $(3, 9)$.
2. Так как заданный промежуток для $x$ симметричен относительно нуля и включает точку $x=0$, то искомый участок графика будет включать вершину параболы $(0, 0)$.
3. Таким образом, множество точек представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(-3, 9)$, опускается до вершины $(0, 0)$ и поднимается до точки $(3, 9)$. Точки $(-3, 9)$ и $(3, 9)$ включены в множество, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Искомое множество — это часть параболы $y=x^2$, расположенная между точками $(-3, 9)$ и $(3, 9)$, включая эти точки и вершину параболы $(0, 0)$.

б) $-2 \le x \le 1$

Искомое множество точек — это часть параболы $y = x^2$, для которой абсцисса $x$ принимает значения из отрезка $[-2, 1]$.
1. Найдем ординаты крайних точек этого участка.
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты первой точки: $(-2, 4)$.
При $x = 1$, $y = (1)^2 = 1$. Координаты второй точки: $(1, 1)$.
2. Промежуток $[-2, 1]$ включает точку $x=0$, поэтому вершина параболы $(0, 0)$ также является частью искомого множества.
3. Множество точек представляет собой дугу параболы, которая соединяет точки $(-2, 4)$ и $(1, 1)$, проходя через вершину $(0, 0)$. Крайние точки включены в множество.

Ответ: Искомое множество — это часть параболы $y=x^2$, расположенная между точками $(-2, 4)$ и $(1, 1)$, включая эти точки и вершину параболы $(0, 0)$.

в) $x \le 0$

Искомое множество точек — это часть параболы $y = x^2$, для которой абсцисса $x$ принимает неположительные значения ($x \le 0$).
1. Это условие означает, что мы рассматриваем только те точки параболы, которые находятся на оси ординат или левее нее.
2. Данному условию соответствует левая ветвь параболы $y=x^2$.
3. Крайней правой точкой этого множества является вершина параболы $(0, 0)$, так как $x=0$ удовлетворяет условию.
4. При движении влево от начала координат (при $x < 0$), ветвь параболы уходит вверх в бесконечность. Она проходит через точки $(-1, 1)$, $(-2, 4)$, $(-3, 9)$ и т.д.

Ответ: Искомое множество — это левая ветвь параболы $y=x^2$, включая ее вершину в точке $(0, 0)$.

5.54 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y=x^3$, где:

а) $-1 \le x \le 1$;

б) $x \ge 0$;

в) $x \le 1$.

а) Для того чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих равенству $y = x^3$ при условии $-1 \le x \le 1$, необходимо построить график функции $y = x^3$ на отрезке $[-1, 1]$.

Функция $y = x^3$ является кубической параболой. Для построения графика найдем значения функции в нескольких ключевых точках на заданном интервале.При $x = -1$ имеем $y = (-1)^3 = -1$, что соответствует точке $(-1, -1)$.При $x = 0$ имеем $y = 0^3 = 0$, что соответствует точке $(0, 0)$ (начало координат).При $x = 1$ имеем $y = 1^3 = 1$, что соответствует точке $(1, 1)$.

Искомое множество точек — это фрагмент графика кубической параболы, расположенный между точками $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Поскольку неравенство $-1 \le x \le 1$ нестрогое, то концы этого фрагмента, точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, принадлежат множеству и на графике изображаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: Фрагмент графика функции $y = x^3$, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, включая эти точки.

б) В данном случае требуется изобразить множество точек, удовлетворяющих равенству $y = x^3$ при условии $x \ge 0$. Это означает, что мы рассматриваем график функции $y = x^3$ для всех неотрицательных значений аргумента $x$.

Это правая ветвь кубической параболы, которая начинается в начале координат и уходит в бесконечность в первом координатном углу. Найдем несколько контрольных точек:при $x = 0$ имеем $y = 0^3 = 0$ (точка $(0, 0)$);при $x = 1$ имеем $y = 1^3 = 1$ (точка $(1, 1)$);при $x = 2$ имеем $y = 2^3 = 8$ (точка $(2, 8)$).Поскольку неравенство $x \ge 0$ нестрогое, начальная точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

График представляет собой кривую, которая выходит из начала координат и неограниченно продолжается вверх и вправо, проходя через первый координатный угол.

Ответ: Часть графика функции $y = x^3$, расположенная в первой координатной четверти, включая начало координат $(0,0)$.

в) Здесь необходимо изобразить множество точек, удовлетворяющих равенству $y = x^3$ при условии $x \le 1$. Мы строим график функции $y = x^3$ для всех значений $x$, которые меньше или равны 1.

Это множество включает в себя всю левую ветвь кубической параболы (где $x<0$) и часть правой ветви до точки, где $x=1$. Найдем несколько контрольных точек. Крайней правой точкой будет точка с абсциссой $x = 1$: при $x = 1$ имеем $y = 1^3 = 1$ (точка $(1, 1)$). Поскольку неравенство $x \le 1$ нестрогое, эта точка принадлежит графику и изображается закрашенной. Другие точки на графике: при $x = 0$ имеем $y=0$ (точка $(0, 0)$); при $x = -1$ имеем $y=-1$ (точка $(-1, -1)$); при $x = -2$ имеем $y=-8$ (точка $(-2, -8)$).

График представляет собой кривую, которая приходит из минус бесконечности (из третьего координатного угла), проходит через начало координат $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(1, 1)$.

Ответ: Часть графика функции $y = x^3$ для всех $x \in (-\infty, 1]$, то есть вся левая ветвь графика и часть правой ветви до точки $(1, 1)$ включительно.

5.55 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y = |x|$, где:

а) $x \leq 3$;

б) $x \geq -4$;

в) $-2 \leq x \leq 2$.

Для решения задачи необходимо построить график функции $y=|x|$ с учетом заданных ограничений на переменную $x$. График функции $y=|x|$ состоит из двух частей:

• прямой $y=x$ для $x \ge 0$ (биссектриса первого координатного угла)
• прямой $y=-x$ для $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла)

Вместе эти два луча, выходящие из точки $(0,0)$, образуют фигуру, похожую на букву "V".

а) $x \le 3$

Рассмотрим, как ограничение $x \le 3$ влияет на каждую часть графика.

1. Для луча $y=x$, где $x \ge 0$, условие $x \le 3$ означает, что мы должны рассматривать только ту часть луча, для которой $0 \le x \le 3$. Это отрезок прямой $y=x$, который соединяет точки $(0,0)$ и $(3,3)$. Точка $(3,3)$ включается в множество, так как неравенство нестрогое.

2. Для луча $y=-x$, где $x < 0$, условие $x \le 3$ выполняется всегда, так как любое отрицательное число меньше 3. Поэтому эта часть графика остается без изменений — это луч $y=-x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и уходящий влево и вверх.

Таким образом, искомое множество точек — это объединение луча и отрезка, встречающихся в начале координат.

Ответ: Множество точек состоит из двух частей, сходящихся в точке $(0,0)$: луча $y=-x$ для всех $x \le 0$ и отрезка прямой $y=x$, соединяющего точки $(0,0)$ и $(3,3)$.

б) $x \ge -4$

Рассмотрим, как ограничение $x \ge -4$ влияет на каждую часть графика.

1. Для луча $y=x$, где $x \ge 0$, условие $x \ge -4$ выполняется всегда. Поэтому эта часть графика остается без изменений — это луч $y=x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и уходящий вправо и вверх.

2. Для луча $y=-x$, где $x < 0$, условие $x \ge -4$ означает, что мы должны рассматривать только ту часть луча, для которой $-4 \le x < 0$. Это отрезок прямой $y=-x$, который соединяет точку $(-4, |-4|) = (-4, 4)$ и точку $(0,0)$. Точка $(-4,4)$ включается в множество, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, искомое множество точек — это объединение отрезка и луча, встречающихся в начале координат.

Ответ: Множество точек состоит из двух частей, сходящихся в точке $(0,0)$: отрезка прямой $y=-x$, соединяющего точки $(-4,4)$ и $(0,0)$, и луча $y=x$ для всех $x \ge 0$.

в) $-2 \le x \le 2$

Рассмотрим, как ограничение $-2 \le x \le 2$ влияет на каждую часть графика.

1. Для луча $y=x$, где $x \ge 0$, условие $-2 \le x \le 2$ превращается в $0 \le x \le 2$. Это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(0,0)$ и $(2,2)$.

2. Для луча $y=-x$, где $x < 0$, условие $-2 \le x \le 2$ превращается в $-2 \le x < 0$. Это отрезок прямой $y=-x$, соединяющий точки $(-2, |-2|) = (-2, 2)$ и $(0,0)$.

Таким образом, искомое множество точек — это объединение двух отрезков, встречающихся в начале координат.

Ответ: Множество точек представляет собой фигуру в виде "галочки", состоящую из двух отрезков с общей вершиной в точке $(0,0)$: отрезка, соединяющего точки $(-2,2)$ и $(0,0)$, и отрезка, соединяющего точки $(0,0)$ и $(2,2)$.

5.56 Известно, что $y = x^2 + 2x$. Составьте таблицу соответственных значений $x$ и $y$ и постройте по точкам график этой зависимости. Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Составьте таблицу соответственных значений x и y

Для того чтобы составить таблицу значений для функции $y = x^2 + 2x$, сначала проанализируем функцию. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Чтобы построить ее наиболее точно, найдем координаты ее вершины. Абсцисса вершины параболы $y=ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.

В данном случае, $a=1$ и $b=2$, следовательно:

$x_0 = -2 / (2 \cdot 1) = -1$

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -1$ в уравнение функции:

$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Выберем несколько целых значений $x$, симметричных относительно вершины, и вычислим для них соответствующие значения $y$.

• Если $x = -4$, то $y = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8$.
• Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3$.
• Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$.
• Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
• Если $x = 0$, то $y = 0^2 + 2(0) = 0$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$.

Теперь представим эти данные в виде таблицы:

Ответ: Таблица соответственных значений $x$ и $y$ составлена.

Постройте по точкам график этой зависимости

Для построения графика на координатной плоскости отмечаем точки, координаты которых мы вычислили и занесли в таблицу: $(-4, 8)$, $(-3, 3)$, $(-2, 0)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 8)$. После этого соединяем отмеченные точки плавной линией.

Характеристики полученного графика:

• График является параболой, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
• Вершина параболы, являющаяся ее точкой минимума, расположена в точке с координатами $(-1, -1)$.
• Осью симметрии графика является вертикальная прямая $x = -1$.
• Точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox) находятся при $y=0$. Решим уравнение $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0$, откуда получаем $x_1=0$ и $x_2=-2$. Таким образом, точки пересечения — $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.
• Точка пересечения с осью ординат (Oy) находится при $x=0$, что соответствует точке $(0,0)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2x$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$ и ветвями, направленными вверх.

Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Функция $y = x^2 + 2x$ является квадратичной. Графиком любой квадратичной функции является кривая, которая называется параболой. Эта линия знакома из курса алгебры.

Преобразовав уравнение путем выделения полного квадрата, мы можем увидеть это более наглядно:

$y = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$

Эта запись показывает, что график является стандартной параболой $y=x^2$, смещенной на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.

Ответ: Парабола.

5.57 Множество точек на плоскости задано условиями:

$y = \begin{cases} x \text{ при } x \ge 0, \\ 0 \text{ при } x < 0. \end{cases}$

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Какие из точек (-1; 0), (0,5; 0,5), (1; 0), (2; 2), (-3; -3) принадлежат этому множеству?

Данное множество точек задано кусочной функцией: $y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 0, \\ 0 & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Для решения задачи разобьем ее на два пункта.

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Чтобы изобразить (построить график) этого множества точек, мы должны рассмотреть две части функции в зависимости от значения $x$:

1. Для всех неотрицательных значений $x$ (то есть при $x \ge 0$), значение $y$ равно $x$. Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Поскольку мы рассматриваем только случай $x \ge 0$, нам нужна та часть этой прямой, которая лежит в I координатном квадранте, включая точку начала координат $(0; 0)$. Это луч, выходящий из точки $(0; 0)$ и идущий вправо-вверх под углом $45^\circ$ к оси абсцисс.

2. Для всех отрицательных значений $x$ (то есть при $x < 0$), значение $y$ равно $0$. Графиком функции $y=0$ является ось абсцисс (ось $Ox$). Так как мы рассматриваем только случай $x < 0$, нам нужна та часть оси $Ox$, которая находится левее начала координат. Это луч, идущий из точки $(0; 0)$ (не включая саму точку) и направленный влево вдоль оси $Ox$.

Объединив обе части, мы получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из одной точки $(0;0)$: один луч совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, а второй — с биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График данного множества точек представляет собой объединение двух лучей, исходящих из начала координат: луча, совпадающего с отрицательной полуосью $Ox$ (включая точку $(0;0)$ из первого условия), и луча $y=x$, расположенного в первом координатном квадранте.

Какие из точек (-1; 0), (0,5; 0,5), (1; 0), (2; 2), (-3; -3) принадлежат этому множеству?

Для проверки принадлежности каждой точки множеству, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в заданные условия.

Проверка точки $(-1; 0)$:
Координата $x = -1$. Так как $-1 < 0$, мы используем второе правило: $y = 0$. Координата $y$ точки равна $0$, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.

Проверка точки $(0,5; 0,5)$:
Координата $x = 0,5$. Так как $0,5 \ge 0$, мы используем первое правило: $y = x$. Подставляя $x = 0,5$, получаем $y = 0,5$. Координата $y$ точки равна $0,5$, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.

Проверка точки $(1; 0)$:
Координата $x = 1$. Так как $1 \ge 0$, мы используем первое правило: $y = x$. Подставляя $x = 1$, получаем $y = 1$. Координата $y$ точки равна $0$. Так как $0 \ne 1$, точка не принадлежит множеству.

Проверка точки $(2; 2)$:
Координата $x = 2$. Так как $2 \ge 0$, мы используем первое правило: $y = x$. Подставляя $x = 2$, получаем $y = 2$. Координата $y$ точки равна $2$, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.

Проверка точки $(-3; -3)$:
Координата $x = -3$. Так как $-3 < 0$, мы используем второе правило: $y = 0$. Координата $y$ точки равна $-3$. Так как $-3 \ne 0$, точка не принадлежит множеству.

Ответ: Этому множеству принадлежат точки $(-1; 0)$, $(0,5; 0,5)$ и $(2; 2)$.

5.58 Множество точек на плоскости задано условиями:

$y = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \le 1, \\ 1 \text{ при } x > 1. \end{cases}$

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Какие из точек $(0; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, $(2; 4)$, $(-2; 4)$, $(3; 1)$ принадлежат этому множеству?

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.
Данное множество точек является графиком кусочной функции: $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 1 & \text{при } x > 1. \end{cases}$
График этой функции состоит из двух частей, которые строятся в зависимости от значения абсциссы $x$:
1. На промежутке $(-\infty; 1]$, то есть для всех $x \le 1$, график совпадает с графиком параболы $y = x^2$. Эта часть включает в себя левую ветвь параболы, ее вершину в точке (0; 0) и правую ветвь до точки (1; 1) включительно.
2. На промежутке $(1; +\infty)$, то есть для всех $x > 1$, график представляет собой горизонтальный луч $y = 1$. Этот луч начинается от точки (1; 1) (не включая саму точку) и идет вправо параллельно оси абсцисс.
В точке $x = 1$ значение первой части функции $y = 1^2 = 1$ совпадает со значением второй части $y = 1$, поэтому график является непрерывным. Точка (1; 1) является точкой соединения двух частей графика.
Ответ: Графиком данного множества является парабола $y=x^2$ на промежутке $(-\infty; 1]$, которая в точке (1; 1) переходит в горизонтальный луч $y=1$ для $x > 1$.

Какие из точек (0; 0), $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, (2; 4), (-2; 4), (3; 1) принадлежат этому множеству?
Для проверки принадлежности каждой точки $(x_0; y_0)$ множеству, нужно подставить ее абсциссу $x_0$ в соответствующую часть функции и проверить, совпадает ли результат с ординатой $y_0$.

- Для точки (0; 0): абсцисса $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, используем формулу $y = x^2$. Подставив $x = 0$, получаем $y = 0^2 = 0$. Ордината точки (0) совпадает с вычисленной (0). Точка принадлежит множеству.

- Для точки $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$: абсцисса $x = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, используем формулу $y = x^2$. Подставив $x = \frac{1}{2}$, получаем $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Ордината точки ($\frac{1}{4}$) совпадает с вычисленной ($\frac{1}{4}$). Точка принадлежит множеству.

- Для точки (2; 4): абсцисса $x = 2$. Это значение удовлетворяет условию $x > 1$. Следовательно, используем формулу $y = 1$. Для $x=2$ ордината должна быть равна 1. Ордината данной точки равна 4. Так как $1 \ne 4$, точка не принадлежит множеству.

- Для точки (-2; 4): абсцисса $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, используем формулу $y = x^2$. Подставив $x = -2$, получаем $y = (-2)^2 = 4$. Ордината точки (4) совпадает с вычисленной (4). Точка принадлежит множеству.

- Для точки (3; 1): абсцисса $x = 3$. Это значение удовлетворяет условию $x > 1$. Следовательно, используем формулу $y = 1$. Для $x=3$ ордината должна быть равна 1. Ордината данной точки равна 1, что совпадает. Точка принадлежит множеству.

Ответ: Этому множеству принадлежат точки (0; 0), $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, (-2; 4) и (3; 1). Точка (2; 4) этому множеству не принадлежит.

5.59 Постройте график зависимости, если известно, что:

a) $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0, \\ -x & \text{при } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x & \text{при } x \ge 0, \\ x^3 & \text{при } x < 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3, \\ x & \text{при } -3 < x < 3, \\ -3 & \text{при } x \le -3; \end{cases}$

д) $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3, \\ |x| & \text{при } -3 < x < 3, \\ 3 & \text{при } x \le -3; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 0 & \text{при } x \ge 0, \\ -x & \text{при } -2 < x < 0, \\ 2 & \text{при } x \le -2; \end{cases}$

е) $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \le -2, \\ x^2 & \text{при } -2 < x < 2, \\ 4 & \text{при } x \ge 2. \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y=x^2$. Это правая ветвь стандартной параболы, вершина которой находится в начале координат. Она проходит через точки (0,0), (1,1), (2,4). Точка (0,0) принадлежит этому участку графика.

2. При $x < 0$ строим график функции $y=-x$. Это луч, являющийся биссектрисой второй координатной четверти. Он проходит через точки (-1,1), (-2,2). Конечная точка луча в начале координат (0,0) не принадлежит этому участку (является "выколотой"), так как неравенство строгое ($x < 0$).

3. Объединяем графики на одной координатной плоскости. "Выколотая" точка (0,0) на луче $y=-x$ совпадает с начальной точкой (0,0) ветви параболы $y=x^2$. Таким образом, в точке $x=0$ разрыва нет, и график является непрерывной линией.

Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в точке (0,0): для неотрицательных значений $x$ — это правая ветвь параболы $y=x^2$, для отрицательных значений $x$ — это луч $y=-x$.

Для построения графика функции $y = \begin{cases} -x & \text{при } x \ge 0 \\ x^3 & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y=-x$. Это луч, выходящий из начала координат (0,0) и являющийся биссектрисой четвертой координатной четверти. Он проходит через точки (0,0), (1,-1), (2,-2). Точка (0,0) принадлежит этому участку.

2. При $x < 0$ строим график функции $y=x^3$. Это левая ветвь кубической параболы. Она проходит через точки (-1,-1), (-2,-8). Точка (0,0) этому участку не принадлежит (является "выколотой").

3. Совмещаем графики. "Выколотая" точка (0,0) левой ветви кубической параболы "закрывается" начальной точкой (0,0) луча $y=-x$. Функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в начале координат: для $x \ge 0$ — это луч $y=-x$, идущий из (0,0) вниз и вправо, для $x < 0$ — это левая ветвь кубической параболы $y=x^3$.

Функция $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ x & \text{при } -3 < x < 3 \\ -3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ задана на трех промежутках.

1. На промежутке $x \ge 3$ график функции $y=3$ — это горизонтальный луч, выходящий из точки (3,3) и идущий вправо. Точка (3,3) включена.

2. На промежутке $-3 < x < 3$ график функции $y=x$ — это отрезок прямой, являющийся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Он соединяет точки (-3,-3) и (3,3). Концевые точки отрезка, (-3,-3) и (3,3), не включены (являются "выколотыми").

3. На промежутке $x \le -3$ график функции $y=-3$ — это горизонтальный луч, идущий влево от точки (-3,-3). Точка (-3,-3) включена.

При объединении этих трех частей "выколотая" точка (-3,-3) на среднем участке "закрывается" конечной точкой левого луча, а "выколотая" точка (3,3) "закрывается" начальной точкой правого луча. Таким образом, график является непрерывной линией.

Ответ: График состоит из трех соединенных частей: горизонтального луча $y=-3$ при $x \le -3$, отрезка прямой $y=x$ между точками (-3,-3) и (3,3), и горизонтального луча $y=3$ при $x \ge 3$.

Функция $y = \begin{cases} 0 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } -2 < x < 0 \\ 2 & \text{при } x \le -2 \end{cases}$ задана на трех промежутках.

1. При $x \ge 0$ график функции $y=0$ — это горизонтальный луч, совпадающий с положительной полуосью Ox, включая начало координат. Начальная точка (0,0) включена.

2. При $-2 < x < 0$ график функции $y=-x$ — это отрезок прямой, соединяющий точки (-2, 2) и (0, 0). Обе концевые точки "выколоты".

3. При $x \le -2$ график функции $y=2$ — это горизонтальный луч, идущий влево от точки (-2,2). Точка (-2,2) включена.

Совмещая графики, видим, что "выколотая" точка (-2,2) на отрезке "закрывается" конечной точкой левого луча, а "выколотая" точка (0,0) "закрывается" начальной точкой правого луча. График является непрерывной линией.

Ответ: График представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из трех частей: горизонтального луча $y=2$ при $x \le -2$, отрезка $y=-x$ от (-2,2) до (0,0), и горизонтального луча $y=0$ при $x \ge 0$.

Функция $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ |x| & \text{при } -3 < x < 3 \\ 3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ также задана на трех промежутках.

1. На промежутках $x \ge 3$ и $x \le -3$ график состоит из двух горизонтальных лучей на высоте $y=3$. Один луч начинается в точке (3,3) и идет вправо, другой заканчивается в точке (-3,3) и идет влево. Точки (3,3) и (-3,3) включены.

2. На промежутке $-3 < x < 3$ строим график функции $y=|x|$. Это "галочка" с вершиной в точке (0,0). Она состоит из двух отрезков: $y=-x$ на интервале $(-3, 0)$ и $y=x$ на полуинтервале $[0, 3)$. Концевые точки "галочки", (-3,3) и (3,3), "выколоты".

3. При совмещении графиков "выколотые" точки (-3,3) и (3,3) от графика $y=|x|$ "закрываются" конечными точками горизонтальных лучей. График является непрерывной линией.

Ответ: График имеет форму "ковша": он состоит из горизонтального луча $y=3$ для $x \le -3$, затем из двух отрезков $y=-x$ и $y=x$, образующих "галочку" с вершиной в (0,0) и концами в (-3,3) и (3,3), и далее из горизонтального луча $y=3$ для $x \ge 3$.

Функция $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \le -2 \\ x^2 & \text{при } -2 < x < 2 \\ 4 & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$ задана на трех промежутках.

1. На промежутках $x \le -2$ и $x \ge 2$ график состоит из двух горизонтальных лучей на высоте $y=4$. Один начинается в точке (2,4) и идет вправо, другой заканчивается в точке (-2,4) и идет влево. Точки (2,4) и (-2,4) включены.

2. На промежутке $-2 < x < 2$ строим график функции $y=x^2$. Это дуга параболы с вершиной в точке (0,0), проходящая между точками (-2,4) и (2,4). Концевые точки дуги, (-2,4) и (2,4), "выколоты".

3. При совмещении графиков "выколотые" точки (-2,4) и (2,4) параболической дуги "закрываются" конечными точками горизонтальных лучей. График является непрерывной линией.

Ответ: График имеет форму "ковша" с параболическим дном: он состоит из горизонтального луча $y=4$ для $x \le -2$, затем из дуги параболы $y=x^2$ от (-2,4) до (2,4), и далее из горизонтального луча $y=4$ для $x \ge 2$.