Номер 5.54, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Координаты и графики. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Упражнения - номер 5.54, страница 130.

Условие.

5.54 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y=x^3$, где:

а) $-1 \le x \le 1$;

б) $x \ge 0$;

в) $x \le 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для того чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих равенству $y = x^3$ при условии $-1 \le x \le 1$, необходимо построить график функции $y = x^3$ на отрезке $[-1, 1]$.

Функция $y = x^3$ является кубической параболой. Для построения графика найдем значения функции в нескольких ключевых точках на заданном интервале.При $x = -1$ имеем $y = (-1)^3 = -1$, что соответствует точке $(-1, -1)$.При $x = 0$ имеем $y = 0^3 = 0$, что соответствует точке $(0, 0)$ (начало координат).При $x = 1$ имеем $y = 1^3 = 1$, что соответствует точке $(1, 1)$.

Искомое множество точек — это фрагмент графика кубической параболы, расположенный между точками $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Поскольку неравенство $-1 \le x \le 1$ нестрогое, то концы этого фрагмента, точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, принадлежат множеству и на графике изображаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: Фрагмент графика функции $y = x^3$, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, включая эти точки.

б) В данном случае требуется изобразить множество точек, удовлетворяющих равенству $y = x^3$ при условии $x \ge 0$. Это означает, что мы рассматриваем график функции $y = x^3$ для всех неотрицательных значений аргумента $x$.

Это правая ветвь кубической параболы, которая начинается в начале координат и уходит в бесконечность в первом координатном углу. Найдем несколько контрольных точек:при $x = 0$ имеем $y = 0^3 = 0$ (точка $(0, 0)$);при $x = 1$ имеем $y = 1^3 = 1$ (точка $(1, 1)$);при $x = 2$ имеем $y = 2^3 = 8$ (точка $(2, 8)$).Поскольку неравенство $x \ge 0$ нестрогое, начальная точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

График представляет собой кривую, которая выходит из начала координат и неограниченно продолжается вверх и вправо, проходя через первый координатный угол.

Ответ: Часть графика функции $y = x^3$, расположенная в первой координатной четверти, включая начало координат $(0,0)$.

в) Здесь необходимо изобразить множество точек, удовлетворяющих равенству $y = x^3$ при условии $x \le 1$. Мы строим график функции $y = x^3$ для всех значений $x$, которые меньше или равны 1.

Это множество включает в себя всю левую ветвь кубической параболы (где $x<0$) и часть правой ветви до точки, где $x=1$. Найдем несколько контрольных точек. Крайней правой точкой будет точка с абсциссой $x = 1$: при $x = 1$ имеем $y = 1^3 = 1$ (точка $(1, 1)$). Поскольку неравенство $x \le 1$ нестрогое, эта точка принадлежит графику и изображается закрашенной. Другие точки на графике: при $x = 0$ имеем $y=0$ (точка $(0, 0)$); при $x = -1$ имеем $y=-1$ (точка $(-1, -1)$); при $x = -2$ имеем $y=-8$ (точка $(-2, -8)$).

График представляет собой кривую, которая приходит из минус бесконечности (из третьего координатного угла), проходит через начало координат $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(1, 1)$.

Ответ: Часть графика функции $y = x^3$ для всех $x \in (-\infty, 1]$, то есть вся левая ветвь графика и часть правой ветви до точки $(1, 1)$ включительно.