Номер 5.64, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.64 Найдите координаты общих точек графиков зависимостей $y = x^2$ и $y = |x|$.

Чтобы найти координаты общих точек графиков зависимостей $y = x^2$ и $y = |x|$, необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 = |x|$
Для решения этого уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае, по определению модуля, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба этих значения удовлетворяют начальному условию $x \ge 0$.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае, по определению модуля, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 = -x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -1$. Корень $x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому он не является решением в этом случае. Корень $x_4 = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$.

Таким образом, мы нашли три абсциссы (координаты $x$) общих точек: $0, 1, -1$. Теперь найдем для каждой из них соответствующую ординату (координату $y$), подставив значения $x$ в любое из исходных уравнений, например в $y = |x|$:
- Если $x = 0$, то $y = |0| = 0$. Координаты первой точки: $(0, 0)$.
- Если $x = 1$, то $y = |1| = 1$. Координаты второй точки: $(1, 1)$.
- Если $x = -1$, то $y = |-1| = 1$. Координаты третьей точки: $(-1, 1)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$.