Номер 5.66, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 5.66, страница 131.

Условие.

5.66 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $x=y^2$;

б) $x=|y|$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы построить множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $x = y^2$, мы имеем дело с уравнением параболы.
Это уравнение похоже на стандартное уравнение параболы $y = x^2$, но в нем переменные $x$ и $y$ поменялись местами. Если парабола $y = x^2$ имеет вершину в начале координат и ее ветви направлены вверх, то парабола $x = y^2$ также имеет вершину в точке $(0, 0)$, но ее ветви направлены вправо, а осью симметрии является ось абсцисс (ось $Ox$).
Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), то и $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$). Это означает, что весь график расположен в правой полуплоскости.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек, подставляя различные значения $y$ и вычисляя $x$:

• При $y = 0$, $x = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $y = 1$, $x = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $y = -1$, $x = (-1)^2 = 1$. Точка $(1, -1)$.
• При $y = 2$, $x = 2^2 = 4$. Точка $(4, 2)$.
• При $y = -2$, $x = (-2)^2 = 4$. Точка $(4, -2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих равенству $x = y^2$, представляет собой параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси $Ox$ и с ветвями, направленными вправо.

б)

Чтобы построить множество точек для равенства $x = |y|$, необходимо раскрыть модуль. По определению абсолютной величины:
$|y| = \begin{cases} y, & \text{если } y \ge 0 \\ -y, & \text{если } y < 0 \end{cases}$
Таким образом, исходное уравнение можно разбить на два случая:

1. Случай 1: $y \ge 0$.
   В этом случае $|y| = y$, и уравнение принимает вид $x = y$. Это уравнение прямой линии (биссектрисы I координатного угла). Учитывая ограничение $y \ge 0$, мы строим только ту часть прямой, которая находится в первой четверти, то есть луч, исходящий из точки $(0, 0)$.
2. Случай 2: $y < 0$.
   В этом случае $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $x = -y$, что эквивалентно $y = -x$. Это уравнение прямой линии (биссектрисы II и IV координатных углов). Учитывая ограничение $y < 0$, мы строим только ту часть прямой, которая находится в четвертой четверти, то есть луч, исходящий из точки $(0, 0)$.

Объединение графиков этих двух случаев и есть искомое множество точек. Это два луча, образующие "уголок" с вершиной в начале координат, который симметричен относительно оси $Ox$.
Найдем несколько точек для проверки:

• При $y = 0$, $x = |0| = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $y = 2$, $x = |2| = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $y = -2$, $x = |-2| = 2$. Точка $(2, -2)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих равенству $x = |y|$, представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y = x$ для $y \ge 0$ и луча $y = -x$ для $y < 0$.