Номер 5.65, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.65 Постройте параболу, симметричную параболе $y = x^2$ относительно оси абсцисс. Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы?

Постройте параболу, симметричную параболе $y=x^2$ относительно оси абсцисс.

Чтобы построить параболу, симметричную данной параболе $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо найти уравнение новой параболы.

Симметрия относительно оси абсцисс означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходной кривой соответствующая ей симметричная точка $(x_1, y_1)$ будет иметь те же координаты по $x$, а координата по $y$ будет иметь противоположный знак. То есть:
$x_1 = x_0$
$y_1 = -y_0$

Точка $(x_0, y_0)$ принадлежит параболе $y = x^2$, следовательно, ее координаты удовлетворяют этому уравнению: $y_0 = x_0^2$.

Теперь выразим координаты старой точки $(x_0, y_0)$ через координаты новой точки $(x_1, y_1)$ и подставим их в исходное уравнение:
$x_0 = x_1$
$y_0 = -y_1$
Подставляем в $y_0 = x_0^2$:
$(-y_1) = (x_1)^2$
Умножив обе части на -1, получаем:
$y_1 = -x_1^2$

Отбросив индексы, мы получаем уравнение для всех точек искомой параболы: $y = -x^2$.

Графиком этого уравнения является парабола, вершина которой находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вниз. Она является точным зеркальным отражением параболы $y = x^2$ относительно оси $Ox$. Для построения можно взять несколько точек на исходной параболе, например, $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$, и заменить у них знак координаты $y$. Получим точки для новой параболы: $(-2, -4), (-1, -1), (0, 0), (1, -1), (2, -4)$. Соединив эти точки, получим искомую параболу.

Ответ: Искомая парабола задается уравнением $y = -x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы?

Соотношение, которым связаны координаты $(x, y)$ любой точки, лежащей на новой параболе, — это и есть уравнение этой параболы, которое мы вывели в предыдущем пункте.

Это соотношение означает, что для любой точки на параболе ее ордината (координата $y$) равна квадрату ее абсциссы (координаты $x$), взятому с противоположным знаком.

Ответ: Координаты точек $(x,y)$ этой параболы связаны соотношением $y = -x^2$.