Номер 5.46, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.46 Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) $y = x$ и $-2 \leq x \leq 3$;

б) $y - x = 0$ и $-1 \leq x \leq 1$;

в) $y = -x$ и $-4 \leq x \leq 4$;

г) $x + y = 0$ и $2 \leq y \leq 5$;

д) $|x| = |y|$ и $-1 \leq x \leq 1$;

е) $|y| = |x|$ и $-3 \leq x \leq 3$.

а) Заданы условия: $y=x$ и $-2 \le x \le 3$.
Уравнение $y=x$ задает прямую линию, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат (0, 0).
Неравенство $-2 \le x \le 3$ означает, что мы должны рассмотреть только ту часть прямой, у которой абсциссы точек ($x$) лежат в промежутке от -2 до 3 включительно.
Чтобы изобразить это множество, найдем координаты конечных точек этого отрезка:
При $x = -2$, $y = -2$. Координаты первой конечной точки: $(-2, -2)$.
При $x = 3$, $y = 3$. Координаты второй конечной точки: $(3, 3)$.
Искомое множество точек — это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(-2, -2)$ и $(3, 3)$.
Ответ: Отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-2, -2)$ и $(3, 3)$.

б) Заданы условия: $y-x=0$ и $-1 \le x \le 1$.
Преобразуем уравнение: $y - x = 0 \implies y = x$. Это та же прямая, что и в пункте а).
Неравенство $-1 \le x \le 1$ ограничивает эту прямую.
Найдем координаты конечных точек отрезка:
При $x = -1$, $y = -1$. Координаты первой конечной точки: $(-1, -1)$.
При $x = 1$, $y = 1$. Координаты второй конечной точки: $(1, 1)$.
Искомое множество точек — это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
Ответ: Отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

в) Заданы условия: $y=-x$ и $-4 \le x \le 4$.
Уравнение $y=-x$ задает прямую линию, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов и проходит через начало координат.
Неравенство $-4 \le x \le 4$ ограничивает эту прямую.
Найдем координаты конечных точек отрезка:
При $x = -4$, $y = -(-4) = 4$. Координаты первой конечной точки: $(-4, 4)$.
При $x = 4$, $y = -4$. Координаты второй конечной точки: $(4, -4)$.
Искомое множество точек — это отрезок прямой $y=-x$, соединяющий точки $(-4, 4)$ и $(4, -4)$.
Ответ: Отрезок прямой $y=-x$ с концами в точках $(-4, 4)$ и $(4, -4)$.

г) Заданы условия: $x+y=0$ и $2 \le y \le 5$.
Преобразуем уравнение: $x + y = 0 \implies y = -x$. Это та же прямая, что и в пункте в).
Неравенство $2 \le y \le 5$ означает, что мы рассматриваем часть прямой, у которой ординаты ($y$) лежат в промежутке от 2 до 5 включительно.
Найдем соответствующие значения $x$ для конечных точек, используя уравнение $x = -y$:
При $y = 2$, $x = -2$. Координаты первой конечной точки: $(-2, 2)$.
При $y = 5$, $x = -5$. Координаты второй конечной точки: $(-5, 5)$.
Искомое множество точек — это отрезок прямой $y=-x$, соединяющий точки $(-5, 5)$ и $(-2, 2)$.
Ответ: Отрезок прямой $y=-x$ с концами в точках $(-5, 5)$ и $(-2, 2)$.

д) Заданы условия: $|x|=|y|$ и $-1 \le x \le 1$.
Уравнение $|x|=|y|$ эквивалентно совокупности двух уравнений: $y=x$ и $y=-x$. Это две прямые, являющиеся биссектрисами координатных углов.
Неравенство $-1 \le x \le 1$ ограничивает обе эти прямые.
Для прямой $y=x$ получаем отрезок с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
Для прямой $y=-x$ получаем отрезок с концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.
Искомое множество точек — это объединение этих двух отрезков, которые пересекаются в начале координат и образуют фигуру в виде буквы «X».
Ответ: Объединение отрезка, соединяющего точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, и отрезка, соединяющего точки $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.

е) Заданы условия: $|y|=|x|$ и $-3 \le x \le 3$.
Уравнение $|y|=|x|$ задает те же две прямые, что и в пункте д): $y=x$ и $y=-x$.
Неравенство $-3 \le x \le 3$ ограничивает обе прямые.
Для прямой $y=x$ получаем отрезок с концами в точках $(-3, -3)$ и $(3, 3)$.
Для прямой $y=-x$ получаем отрезок с концами в точках $(-3, 3)$ и $(3, -3)$.
Искомое множество точек — это объединение этих двух отрезков.
Ответ: Объединение отрезка, соединяющего точки $(-3, -3)$ и $(3, 3)$, и отрезка, соединяющего точки $(-3, 3)$ и $(3, -3)$.