Номер 1, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Чему вы научились. Глава 4. Уравнения - номер 1, страница 109.

Условие.

1 Корнями какого уравнения являются числа 2 и -1?

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$

3) $x^2 - x - 2 = 0$

4) $x^2 + x - 2 = 0$

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы определить, корнями какого уравнения являются числа $2$ и $-1$, можно составить квадратное уравнение по его корням, используя теорему, обратную теореме Виета, а затем сравнить результат с предложенными вариантами. Также можно последовательно подставить числа $2$ и $-1$ в каждое из уравнений и проверить, выполняется ли равенство.

Способ 1: Использование теоремы, обратной теореме Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Найдем сумму и произведение заданных корней $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$:

Сумма корней: $S = 2 + (-1) = 1$.

Произведение корней: $P = 2 \cdot (-1) = -2$.

Теперь найдем коэффициенты $p$ и $q$ для нашего уравнения:

$-p = S \implies -p = 1 \implies p = -1$.

$q = P \implies q = -2$.

Подставив найденные коэффициенты, получаем искомое уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Это уравнение соответствует варианту ответа под номером 3.

Способ 2: Проверка каждого варианта подстановкой.

Для того чтобы число являлось корнем уравнения, при его подстановке вместо переменной должно получиться верное числовое равенство.

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Равенство верно.
Подставляем $x=-1$: $(-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$. Равенство $6 = 0$ неверно.
Этот вариант не подходит, так как $-1$ не является корнем.

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 + 3 \cdot 2 + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$. Равенство $12 = 0$ неверно.
Этот вариант не подходит, так как $2$ не является корнем.

3) $x^2 - x - 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$. Равенство верно.
Подставляем $x=-1$: $(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Равенство верно.
Этот вариант подходит, так как оба числа, $2$ и $-1$, являются корнями уравнения.

4) $x^2 + x - 2 = 0$
Подставляем $x=2$: $2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4$. Равенство $4 = 0$ неверно.
Этот вариант не подходит, так как $2$ не является корнем.

Оба способа решения приводят к одному и тому же выводу: искомым является уравнение под номером 3.

Ответ: 3